Студент изучил только 5 из 12 тем дисциплины. Экзаменатор случайным образом выбирает 3 из них и задает студенту. Какова

Для решения задачи, нам необходимо использовать комбинаторику и вероятность.

Из 12 тем дисциплины, студент знает только 5 тем. Экзаменатор выбирает 3 темы случайным образом. Мы должны вычислить вероятность того, что все выбранные темы будут из тех, которые студент знает.

Для начала, давайте посчитаем общее количество возможных комбинаций, которые экзаменатор может выбрать из 12 тем по 3. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний, которая записывается как \(\binom{n}{k}\), где \(n\) - количество элементов для выбора, а \(k\) - размер набора элементов:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, мы выбираем 3 темы из 12, поэтому:

\(\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}\)

Теперь, нам нужно посчитать количество благоприятных исходов - когда все выбранные темы из тех, что студент знает, то есть 5 тем.

У нас есть 5 тем из 12, которые студент знает. Мы выбираем 3 темы, тогда количество благоприятных исходов будет:

\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}\)

Теперь мы можем посчитать вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных комбинаций:

\[P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных комбинаций}} = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{12}{3}}\]

Подставим значения:

\[P = \frac{\frac{5!}{3!2!}}{\frac{12!}{3!9!}}\]

Упростим дробь:

\[P = \frac{5! \cdot 9!}{3!2! \cdot 12!}\]

Заметим, что \(3!\) и \(2!\) можно сократить с \(9!\) и \(12!\) соответственно:

\[P = \frac{5!}{1} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5!}{24} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{24} = \frac{120}{24} = 5\]

Таким образом, вероятность того, что все выбранные темы будут из тех, которые студент знает, равна 5 или, в виде обыкновенной дроби, \(\frac{5}{1}\).