Среди N изделий существует M изделий с скрытым дефектом. Если наугад выбрано n изделий, найдите вероятность следующих

Для решения этой задачи вам понадобится принцип комбинаторики, а именно формула сочетаний. Формула сочетаний имеет вид:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(n\) - количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Теперь давайте применим эту формулу к каждому событию:

A - Из m выбранных изделий имеют скрытый дефект.

Мы знаем, что всего у нас есть M изделий со скрытым дефектом. Из m выбранных изделий скрытый дефект должно быть ровно m изделий. Таким образом, количество способов выбрать m изделий со скрытым дефектом из M изделий со скрытым дефектом будет равно \(C(M, m)\).

Теперь, для остальных \(n-m\) изделий без скрытого дефекта нам остается выбрать \(n-m\) из \(N-M\) изделий без скрытого дефекта. Это можно сделать \(C(N-M, n-m)\) способами.

Общее количество способов выбрать \(n\) изделий из \(N\) будет равно \(C(N, n)\).

Таким образом, вероятность того, что из m выбранных изделий имеют скрытый дефект (событие A), будет равна:

\[
P(A) = \frac{{C(M, m) \cdot C(N-M, n-m)}}{{C(N, n)}}
\]

B - Среди выбранных есть хотя бы одно изделие со скрытым дефектом.

Обратите внимание, что событие B включает событие A (если есть хотя бы одно изделие со скрытым дефектом, то, очевидно, среди выбранных также будут изделия со скрытым дефектом). Поэтому вероятность события B будет состоять из вероятности события A плюс вероятности того, что все выбранные изделия не имеют скрытого дефекта.

Таким образом, вероятность события B будет равна:

\[
P(B) = P(A) + \frac{{C(N-M, n)}}{{C(N, n)}}
\]

C - Среди выбранных не более двух изделий со скрытым дефектом.

Чтобы рассчитать вероятность события C, мы можем рассмотреть все возможные варианты: 0 изделий со скрытым дефектом, 1 изделие со скрытым дефектом и 2 изделия со скрытым дефектом. Затем мы складываем вероятности каждого варианта.

Вероятность выбрать \(k\) изделий со скрытым дефектом из \(M\) будет равна \(C(M, k)\). Вероятность выбрать \(n-k\) изделий без скрытого дефекта из \(N-M\) будет равна \(C(N-M, n-k)\). Общее количество способов выбрать \(n\) изделий из \(N\) равно \(C(N, n)\).

Таким образом, вероятность события C будет равна:

\[
P(C) = \sum_{k=0}^{2} \frac{{C(M, k) \cdot C(N-M, n-k)}}{{C(N, n)}}
\]

Подставив значения \(N = 12, M = 4, n = 4, m\) в полученные формулы, вы сможете рассчитать вероятности для каждого события A, B и C.