Среди деталей, которые изготавливает работник, в среднем 2% являются нестандартными. Определите вероятность следующих

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности и найдем вероятность для каждого из них.

а) Вероятность того, что из пяти взятых на испытание деталей три окажутся нестандартными, можно найти с помощью биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности такого события выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где n - общее количество деталей (5 в данном случае), k - количество нестандартных деталей (3 в данном случае), p - вероятность получить нестандартную деталь (0,02 в данном случае), а C - символ "C" обозначает число сочетаний из n по k и вычисляется по следующей формуле:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь необходимо вставить значения в формулу:

\[P(X=3) = C_5^3 \cdot 0,02^3 \cdot (1-0,02)^{5-3}\]

\[C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

\[P(X=3) = 10 \cdot 0,02^3 \cdot (1-0,02)^{5-3}\]

\[P(X=3) = 10 \cdot 0,000008 \cdot 0,9801\]
\[P(X=3) \approx 0,0000784\]

Таким образом, вероятность того, что из пяти взятых на испытание деталей три будут нестандартными, составляет примерно 0,0000784 или около 0,00784%.

б) Чтобы определить вероятность того, что количество нестандартных деталей среди пяти будет наивысшим, нужно рассмотреть все возможные комбинации и выбрать ту, в которой количество нестандартных деталей максимально.

В данной задаче есть только два варианта: либо все детали будут нестандартными, либо все детали будут стандартными. Вероятность того, что все детали будут нестандартными, равна вероятности получить нестандартную деталь в одном испытании, возведенной в степень количества деталей:

\[P(все\ детали\ нестандартные) = 0,02^5\]

\[P(все\ детали\ нестандартные) = 0,00000032\]

Вероятность того, что все детали будут стандартными, равна вероятности получить стандартную деталь (т.е. вероятности получить не нестандартную деталь) в одном испытании, также возведенной в степень количества деталей:

\[P(все\ детали\ стандартные) = (1-0,02)^5 = 0,96059601\]

Итак, вероятность того, что количество нестандартных деталей среди пяти будет наивысшим, равна 0,00000032.

в) Вероятность того, что не будет ни одной нестандартной детали можно найти, рассмотрев вероятность того, что каждая из пяти деталей будет стандартной. Вероятность получить стандартную деталь в одном испытании равна (1-0,02) = 0,98. Таким образом, вероятность того, что не будет ни одной нестандартной детали:

\[P(никаких\ нестандартных\ деталей) = 0,98^5 = 0,9039207968\]

Итак, вероятность того, что не будет ни одной нестандартной детали равна 0,9039207968 или около 90,39%.