Среди 8 изделий имеются два изделия с скрытым дефектом. Изделия выбираются наугад по одному и проверяются до

Давайте начнем с пункта (а) и посчитаем вероятность того, что придется проверить ровно $k$ изделий.

Изначально имеется 8 изделий, и среди них 2 изделия с дефектом. Мы выбираем изделия наугад по одному и проверяем их до тех пор, пока не обнаружим оба бракованных изделия.

Рассмотрим процесс проверки шаг за шагом. Первое изделие может быть любым из 8 имеющихся, а вероятность выбрать изделие с дефектом составляет $\frac{2}{8}$ (так как 2 из 8 изделий бракованные).

После проверки первого изделия, остается 7 изделий, включая одно бракованное. Вероятность выбрать второе изделие с дефектом уменьшается до $\frac{1}{7}$, так как остается только 1 бракованное изделие из 7 оставшихся.

Таким образом, вероятность выбрать первое изделие с дефектом, затем второе изделие с дефектом равна:
$$\frac{2}{8}\times \frac{1}{7}$$

Продолжая этот процесс, вероятность выбрать третье изделие с дефектом после выбора первых двух равна $\frac{1}{6}$. Аналогично, вероятность выбрать четвертое изделие с дефектом после выбора трех предыдущих равна $\frac{1}{5}$, и так далее.

Общая вероятность выбрать ровно $k$ изделий с дефектом после проверки их по одному равна произведению вероятностей на каждом шаге. Таким образом, вероятность равна:
$$\frac{2}{8}\times \frac{1}{7}\times \frac{1}{6}\times \dots \times \frac{1}{8-k+1}$$

Теперь перейдем к пункту (б) и посчитаем вероятность того, что придется проверить не менее $k$ изделий.

Для этого мы можем рассмотреть две ситуации:
1. При проверке первых $k-1$ изделий не было найдено ни одного изделия с дефектом.
2. При проверке первых $k-1$ изделий было обнаружено хотя бы одно изделие с дефектом.

Вероятность первой ситуации равна:
$$\left(\frac{6}{8}\right)\times \left(\frac{5}{7}\right)\times \left(\frac{4}{6}\right)\times \dots \times \left(\frac{8-k+1}{8-k+1}\right)$$
(на каждом шаге вероятность выбрать изделие без дефекта уменьшается на 1, так как остается 6 из 8, 5 из 7, и так далее).

Вероятность второй ситуации равна:
$$\left(\frac{2}{8}\right)\times \left(\frac{1}{7}\right)\times \left(\frac{1}{6}\right)\times \dots \times \left(\frac{1}{8-k+1}\right)$$
(вероятность выбрать изделие с дефектом уменьшается на 1 на каждом шаге, так как остается 2 из 8, 1 из 7, и так далее).

Теперь нужно сложить вероятности двух ситуаций для получения общей вероятности придется проверить не менее $k$ изделий:
$$\left(\frac{6}{8}\right)\times \left(\frac{5}{7}\right)\times \left(\frac{4}{6}\right)\times \dots \times \left(\frac{8-k+1}{8-k+1}\right)+\left(\frac{2}{8}\right)\times \left(\frac{1}{7}\right)\times \left(\frac{1}{6}\right)\times \dots \times \left(\frac{1}{8-k+1}\right)$$

Это и есть ответ на задачу - вероятности событий (а) и (б) при заданных условиях.

Пожалуйста, обратите внимание, что изложенные выше вероятности предполагают, что выбор каждого изделия является независимым и случайным. Кроме того, решение предполагает, что мы не возвращаем изделия обратно к началу каждого шага.