Какие значения х повлекут наименьшее значение функции [tex]y=( frac{5x}{2}+9-x^{2} )^{2}[/tex]?

Для решения задачи, нам необходимо найти значения \(x\), которые приведут к наименьшему значению функции \(y = \left(\frac{5x}{2} + 9 - x^2\right)^2\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции.

\[
\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{5x}{2} + 9 - x^2\right) \cdot \left(\frac{5}{2} - 2x\right)
\]

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\).

\[
2\left(\frac{5x}{2} + 9 - x^2\right) \cdot \left(\frac{5}{2} - 2x\right) = 0
\]

Вычисляем каждый множитель отдельно:

\[
\frac{5x}{2} + 9 - x^2 = 0 \quad \text{или} \quad \frac{5}{2} - 2x = 0
\]

Решим первое уравнение:

\[
\frac{5x}{2} + 9 - x^2 = 0
\]

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные:

\[
-x^2 + \frac{5x}{2} + 9 = 0
\]

Шаг 3: Решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) где \(a = -1\), \(b = \frac{5}{2}\), \(c = 9\), получим:

\[
x = \frac{-\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 9}}{2 \cdot -1}
\]

Упростим выражение:

\[
x = \frac{-\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + 36}}{-2}
\]

\[
x = \frac{-\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{144}{4}}}{-2}
\]

\[
x = \frac{-\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}}}{-2}
\]

\[
x = \frac{-\frac{5}{2} \pm \frac{13}{2}}{-2}
\]

Разделим числитель и знаменатель на 2:

\[
x = \frac{-\frac{5}{2} \pm \frac{13}{2}}{-2}
\]

\[
x = -\frac{5}{4} \pm \frac{13}{4}
\]

Таким образом, возможные значения \(x\) для наименьшего значения функции \(y\) равны:

\[
x_1 = -\frac{5}{4} + \frac{13}{4} = 2
\]

\[
x_2 = -\frac{5}{4} - \frac{13}{4} = -9
\]

Подставим эти значения \(x\) в исходную функцию \(y\) для проверки.

При \(x = 2\),

\[
y = \left(\frac{5 \cdot 2}{2} + 9 - 2^2 \right)^2 = (5 + 9 - 4)^2 = 10^2 = 100
\]

При \(x = -9\),

\[
y = \left(\frac{5 \cdot (-9)}{2} + 9 - (-9)^2 \right)^2 = (-\frac{45}{2} + 9 - 81)^2 = (-\frac{45}{2} - \frac{153}{2})^2 = (-\frac{198}{2})^2 = (-99)^2 = 9801
\]

Таким образом, наименьшее значение функции достигается при \(x = 2\), а его значение равно 100.