Среди 10 приборов взяли наудачу 6. Какова вероятность, что среди них: а) будет 2 бракованных? б) будет по крайней мере

Давайте вместе решим задачу о вероятности выбора бракованных приборов из общего числа приборов.

а) Чтобы найти вероятность выбора 2 бракованных приборов из 10 наудачу взятых, нам нужно знать общее количество способов выбора 6 приборов из 10 и количество способов выбора 2 бракованных приборов из 6 бракованных приборов. Для этого воспользуемся формулой комбинаторики - сочетанием:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество объектов (в нашем случае приборов), а \(k\) - количество выбираемых объектов (в нашем случае бракованных приборов).

Таким образом, вероятность того, что среди наудачу выбранных 6 приборов будет 2 бракованных, составляет:

\[P(2 \text{ бракованных}) = \frac{{C(6,2) \cdot C(4,4)}}{{C(10,6)}}\]

Рассчитаем это значение:

\[P(2 \text{ бракованных}) = \frac{{\frac{{6!}}{{2! \cdot (6-2)!}} \cdot \frac{{4!}}{{4! \cdot (4-4)!}}}}{{\frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}}}}\]

Упростим числители и знаменатель:

\[P(2 \text{ бракованных}) = \frac{{\frac{{6!}}{{2! \cdot 4!}} \cdot 1}}{{\frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}}}}\]

Теперь посчитаем факториалы:

\[P(2 \text{ бракованных}) = \frac{{\frac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}} \cdot 1}}{{\frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}}\]

Сократим подобные термины:

\[P(2 \text{ бракованных}) = \frac{{5}}{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}\]

После вычислений получаем:

\[P(2 \text{ бракованных}) \approx 0.002\] (округляем до трех знаков после запятой).

Таким образом, вероятность того, что среди наудачу выбранных 6 приборов будет 2 бракованных, составляет около 0.002.

б) Чтобы найти вероятность выбора по крайней мере 1 бракованного прибора, мы можем рассмотреть два случая: все выбранные приборы могут быть исправными, либо хотя бы один из них бракованный.

Вероятность выбора не бракованных приборов из общего числа приборов 10 наудачу взятых:

\[P(\text{выбрать только исправные}) = \frac{{C(4, 6)}}{{C(10,6)}}\]

Рассчитаем это значение:

\[P(\text{выбрать только исправные}) = \frac{{\frac{{4!}}{{6! \cdot (4-6)!}}}}{{\frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}}}}\]

Упростим числители и знаменатель:

\[P(\text{выбрать только исправные}) = \frac{{\frac{{4!}}{{6! \cdot (-2)!}}}}{{\frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}}}}\]

Факториал от отрицательного числа определен как бесконечность в математике, поэтому этот случай невозможен. Таким образом, мы можем сказать, что вероятность выбрать только исправные приборы составляет 0.

Тогда вероятность выбора по крайней мере 1 бракованного прибора будет равна:

\[P(\text{по крайней мере 1 бракованный}) = 1 - P(\text{выбрать только исправные})\]

\[P(\text{по крайней мере 1 бракованный}) = 1 - 0\]

\[P(\text{по крайней мере 1 бракованный}) = 1\]

Таким образом, вероятность выбора по крайней мере 1 бракованного прибора равна 1.

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как найти вероятности в подобных задачах. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам.