Найдите интервалы, для которых (f (x))? > 1, если задана функция: aresin 7x. Каков ответ?

Чтобы найти интервалы, для которых вторая производная функции \(f(x)\) больше 1, нам необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите первую и вторую производные функции \(f(x)\).

Функция \(f(x)\) задана как арксинус от \(7x\), обозначим ее как \(f(x) = \arcsin(7x)\). Для нахождения первой производной \(f"(x)\) возьмем производную арксинуса от \(7x\) по цепному правилу:

\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\arcsin(7x)\right) = \frac{{1}}{{\sqrt{1 - (7x)^2}}} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(7x) = \frac{{7}}{{\sqrt{1 - (7x)^2}}}
\]

Теперь найдем вторую производную \(f""(x)\) с помощью правила дифференцирования обратной функции:

\[
f""(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{7}}{{\sqrt{1 - (7x)^2}}}\right) = \frac{{-49x}}{{(1 - (7x)^2)^{\frac{{3}}{{2}}}}}
\]

Шаг 2: Решите неравенство \(f""(x) > 1\).

Для решения данного неравенства найдем точки, где \(f""(x) = 1\) и определим интервалы на оси \(x\), где \(f""(x)\) больше 1.

\[
\frac{{-49x}}{{(1 - (7x)^2)^{\frac{{3}}{{2}}}}} > 1
\]

Значение слева дроби будет больше 1, только если знаменатель дроби отрицателен. Найдем точки, где знаменатель равен нулю:

\[
1 - (7x)^2 = 0
\]

\[
(7x)^2 = 1
\]

\[
x^2 = \frac{{1}}{{49}}
\]

Отсюда получаем две точки, \(x = -\frac{{1}}{{7}}\) и \(x = \frac{{1}}{{7}}\).

Шаг 3: Определите интервалы, на которых \(f""(x)\) больше 1.

Для определения интервалов сравним значения \(f""(x)\) в точках между найденными значениями \(x = -\frac{{1}}{{7}}\) и \(x = \frac{{1}}{{7}}\). Мы можем взять произвольное значение \(x\) в каждом из интервалов и проверить, больше ли \(f""(x)\) 1.

Первый интервал: \((-∞, -\frac{{1}}{{7}})\)

Возьмем \(x = -1\), подставим в \(f""(x)\) и проверим:

\[
f""(-1) = \frac{{-49(-1)}}{{(1 - (7(-1))^2)^{\frac{{3}}{{2}}}}} = \frac{{49}}{{\sqrt{50}}} > 1
\]

Следовательно, \(f""(x)\) больше 1 на интервале \((-∞, -\frac{{1}}{{7}})\).

Второй интервал: \((- \frac{{1}}{{7}}, \frac{{1}}{{7}})\)

Возьмем \(x = 0\), подставим в \(f""(x)\) и проверим:

\[
f""(0) = \frac{{0}}{{(1 - (7(0))^2)^{\frac{{3}}{{2}}}}} = 0 < 1
\]

Значит, \(f""(x)\) не больше 1 на интервале \((- \frac{{1}}{{7}}, \frac{{1}}{{7}})\).

Третий интервал: \((\frac{{1}}{{7}}, +∞)\)

Возьмем \(x = 1\), подставим в \(f""(x)\) и проверим:

\[
f""(1) = \frac{{-49(1)}}{{(1 - (7(1))^2)^{\frac{{3}}{{2}}}}} = \frac{{-49}}{{\sqrt{50}}} > 1
\]

В итоге, мы можем сделать вывод, что \(f""(x)\) больше 1 на интервале \((\frac{{1}}{{7}}, +∞)\).

Ответ: Интервалы, для которых \(f""(x) > 1\), это \((-∞, -\frac{{1}}{{7}})\) и \((\frac{{1}}{{7}}, +∞)\).