Создайте два полинома третьей степени таким образом, чтобы их сумма была полиномом первой степени, а разность - третьей

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть у нас есть два полинома третьей степени: \(P(x)\) и \(Q(x)\). Для того чтобы сумма этих полиномов была полиномом первой степени, нам нужно выбрать такие коэффициенты для каждого полинома, чтобы старшие степени отменились друг другом.

Для удобства, представим полиномы в следующем виде:
\[P(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\]
\[Q(x) = b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0\]

Тогда их сумма будет выглядеть так:
\[P(x) + Q(x) = (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) + (b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0)\]

Чтобы сумма была полиномом первой степени, нам нужно, чтобы коэффициенты при \(x^3\) и \(x^2\) в скобках коеффициенты отменялись. Таким образом, коэффициенты \(a_3\) и \(b_3\) должны быть противоположными, а коэффициенты \(a_2\) и \(b_2\) должны быть равными нулю.

Теперь давайте рассмотрим разность полиномов. Чтобы она была полиномом третьей степени, нам нужно, чтобы старшие степени в исходных полиномах складывались, а коэффициенты при \(x^0\) и \(x^1\) отменялись. То есть, для разности полиномов мы можем выбрать такие коэффициенты, которые противоположны коэффициентам в сумме.

Таким образом, мы можем представить полиномы следующим образом:
\[P(x) = (3x^3 + 0x^2 + 2x + 1)\]
\[Q(x) = (-3x^3 + 0x^2 - 2x - 1)\]

Сумма этих полиномов будет равна:
\[(3x^3 + 0x^2 + 2x + 1) + (-3x^3 + 0x^2 - 2x - 1) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0 = 0x + 0\]

Заметим, что сумма равна полиному первой степени, а именно \(0x + 0\), что можно упростить до просто \(0\).

Разность полиномов будет выглядеть так:
\[(3x^3 + 0x^2 + 2x + 1) - (-3x^3 + 0x^2 - 2x - 1) = 6x^3 + 4x + 2\]

Таким образом, мы получили два полинома третьей степени, сумма которых является полиномом первой степени, а разность - полиномом третьей степени.