Составьте контрольную работу по геометрии для учеников 9 класса, 3 четверть, второй вариант

Контрольная работа по геометрии для учеников 9 класса, 3 четверти, второй вариант:

1. Решите следующую задачу на построение:
Даны точки A(2, 4) и B(8, 6). Постройте прямую l, проходящую через эти две точки, и найдите её уравнение в общем виде.

Обоснование решения:
Чтобы построить прямую через две точки, нам нужно знать её угловой коэффициент и свободный член. Угловой коэффициент можно найти по формуле: \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.
Подставим значения координат точек A и B в формулу:
\(k = \frac{{6 - 4}}{{8 - 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Теперь найдем свободный член b, используя уравнение прямой в общем виде: \(y = kx + b\), подставив координаты одной из точек (например, A):
\(4 = \frac{1}{3} \cdot 2 + b\)
\(4 = \frac{2}{3} + b\)
\(b = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\)

Таким образом, уравнение прямой l, проходящей через точки A(2, 4) и B(8, 6), имеет вид: \(y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3}\)

При построении прямой l на координатной плоскости, необходимо провести через точки A и B отрезок прямой и отметить на нем соответствующие единицы измерения по осям. Затем можно соединить полученные точки линией.

2. Решите следующую задачу на нахождение площади и периметра прямоугольника:
Стороны прямоугольника равны a = 5 см и b = 8 см. Найдите его площадь и периметр.

Обоснование решения:
Формулы для вычисления площади S и периметра P прямоугольника:
\(S = a \cdot b\)
\(P = 2a + 2b\)

Подставим значения сторон a = 5 см и b = 8 см в данные формулы:
\(S = 5 \cdot 8 = 40 \, \text{см}^2\)
\(P = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 10 + 16 = 26 \, \text{см}\)

Таким образом, площадь прямоугольника равна 40 квадратным сантиметрам, а его периметр равен 26 сантиметрам.

3. Решите следующую задачу на нахождение объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
Ребра прямоугольного параллелепипеда равны a = 6 см, b = 4 см и c = 10 см. Найдите его объем и площадь поверхности.

Обоснование решения:
Формулы для вычисления объема V и площади поверхности S прямоугольного параллелепипеда:
\(V = a \cdot b \cdot c\)
\(S = 2(ab + bc + ac)\)

Подставим значения ребер a = 6 см, b = 4 см и c = 10 см в данные формулы:
\(V = 6 \cdot 4 \cdot 10 = 240 \, \text{см}^3\)
\(S = 2(6 \cdot 4 + 4 \cdot 10 + 6 \cdot 10) = 2(24 + 40 + 60) = 2 \cdot 124 = 248 \, \text{см}^2\)

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 кубическим сантиметрам, а его площадь поверхности равна 248 квадратным сантиметрам.

4. Решите следующую задачу на нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника:
В прямоугольном треугольнике один катет равен 5 см, а другой - 12 см. Найдите длину гипотенузы.

Обоснование решения:
В прямоугольном треугольнике, гипотенуза (c) является наибольшей стороной и связана с катетами (a и b) по теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Подставим значения сторон a = 5 см и b = 12 см в данную формулу:
\(c^2 = 5^2 + 12^2\)
\(c^2 = 25 + 144\)
\(c^2 = 169\)
\(c = \sqrt{169} = 13\) (корень квадратный из 169)

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 13 сантиметрам.

5. Решите следующую задачу на нахождение площади круга:
Радиус круга равен 6 см. Найдите его площадь.

Обоснование решения:
Формула для вычисления площади S круга:
\(S = \pi r^2\), где r - радиус круга.

Подставим значение радиуса r = 6 см в данную формулу:
\(S = \pi \cdot 6^2\)
\(S = \pi \cdot 36\)
\(S \approx 113.1 \, \text{см}^2\) (примем число \(\pi\) приближенно равным 3.14)

Таким образом, площадь круга с радиусом 6 сантиметров примерно равна 113.1 квадратным сантиметрам.

Это лишь некоторые задания для контрольной работы по геометрии. Вы можете добавить или изменить задания в соответствии с программой и уровнем подготовки учеников.