Каково наименьшее расстояние между ближайшими точками окружностей, если окружности радиусом 17 и 7 имеют общую

Давайте решим данную задачу.

При задачах с окружностями часто полезно нарисовать схематичный рисунок, чтобы лучше представить себе ситуацию.

Дано, что у нас есть две окружности, одна с радиусом 17, а другая с радиусом 7. Они имеют общую касательную, что означает, что в точках касания прямая, касающаяся окружностей, касается обеих окружностей.

Чтобы найти наименьшее расстояние между ближайшими точками окружностей, мы можем рассмотреть прямую, проходящую через центры этих окружностей. Обозначим центр первой окружности как \(O_1\), центр второй окружности как \(O_2\), а наименьшее расстояние между ближайшими точками окружностей как \(d\).

Так как у нас общая касательная, то прямая \(O_1O_2\) перпендикулярна касательной. Поэтому, расстояние \(d\) является кратчайшим расстоянием между прямой и этой касательной.

Длина отрезка между точкой касания и центром окружности называется радиусом. Обозначим радиус первой окружности как \(r_1\) (в нашем случае это 17), а радиус второй окружности как \(r_2\) (в нашем случае это 7).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(O_1O_2T\), где \(T\) - это точка касания.

Мы знаем, что \(O_1T = r_1\) и \(O_2T = r_2\). Расстояние между ближайшими точками окружностей, \(d\), является гипотенузой этого треугольника.

Давайте воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти \(d\):

\[d^2 = (O_1O_2)^2 = (r_1 - r_2)^2 + (O_1T - O_2T)^2\]

Используя данную формулу, подставим значения:

\[d^2 = (17 - 7)^2 + (17 - 7)^2\]

\[d^2 = 10^2 + 10^2\]

\[d^2 = 200\]

Чтобы найти само расстояние \(d\), возьмем квадратный корень из обоих сторон уравнения:

\[d = \sqrt{200}\]

У verefors1 \sqrt{200} является нерациональным числом. Если мы хотим найти его приближенное значение, мы можем округлить его до определенного количества знаков после запятой. Например, округлим его до двух знаков после запятой, получим:

\[d \approx 14.14\]

Таким образом, наименьшее расстояние между ближайшими точками окружностей составляет примерно 14.14 единиц.