Составьте и решите уравнение в квадратной форме для нахождения сторон прямоугольника с диагональю 65см, если их разница

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно составить и решить уравнение в квадратной форме. Давайте начнем!

Предположим, что одна сторона прямоугольника имеет длину \( x \) см. Тогда другая сторона будет иметь длину \( x + 47 \) см, так как разница между сторонами равна 47 см.

Мы знаем, что диагональ прямоугольника равна 65 см. В прямоугольнике у нас есть две стороны и диагональ, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для связи их длин. Теорема Пифагора гласит:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

где \( c \) - гипотенуза, а \( a \) и \( b \) - катеты прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что диагональ прямоугольника является гипотенузой, длину одной стороны - катетом. Подставим известные значения в формулу:

\[
65^2 = x^2 + (x + 47)^2
\]

Теперь мы можем решить это уравнение в квадратной форме.

Раскроем скобки:

\[
4225 = x^2 + (x^2 + 94x + 47^2)
\]

Упростим выражение:

\[
4225 = x^2 + x^2 + 94x + 2209
\]

Соберем все слагаемые вместе:

\[
2x^2 + 94x + 2209 - 4225 = 0
\]

Вычислим:

\[
2x^2 + 94x - 2016 = 0
\]

Теперь можно использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения \( x \). Мы можем использовать формулу:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

где \( a = 2 \), \( b = 94 \) и \( c = -2016 \).

Вычислим значения \( x \):

\[
x = \frac{{-94 \pm \sqrt{{94^2 - 4 \cdot 2 \cdot -2016}}}}{{2 \cdot 2}}
\]

\[
x = \frac{{-94 \pm \sqrt{{8836 + 16128}}}}{{4}}
\]

\[
x = \frac{{-94 \pm \sqrt{{24964}}}}{{4}}
\]

\[
x = \frac{{-94 \pm 158}}{{4}}
\]

Теперь, найдя значения \( x \), мы можем вычислить вторую сторону прямоугольника, добавив 47 к каждому значению \( x \):

\[
x_1 + 47 = \frac{{-94 + 158}}{{4}} + 47
\]

\[
x_1 + 47 = \frac{{64}}{{4}} + 47
\]

\[
x_1 + 47 = 16 + 47
\]

\[
x_1 + 47 = 63
\]

\[
x_1 = 63 - 47
\]

\[
x_1 = 16
\]

Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 16 см.

Теперь найдем второе значение \( x \):

\[
x_2 + 47 = \frac{{-94 - 158}}{{4}} + 47
\]

\[
x_2 + 47 = \frac{{-252}}{{4}} + 47
\]

\[
x_2 + 47 = -63 + 47
\]

\[
x_2 + 47 = -16
\]

\[
x_2 = -16 - 47
\]

\[
x_2 = -63
\]

Мы получили отрицательное значение \( x \), что не имеет смысла с точки зрения геометрии. Поэтому, второе решение не является действительным для этой задачи.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 63 см.