Составить график функции и основываясь на нем: 1) Определить значения х, при которых функция положительна

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово:

1) Для определения значений x, при которых функция положительна и отрицательна, нам нужно проанализировать знак функции y=x^2-7x+10. Для этого мы можем найти вершины графика, которые являются экстремумами функции. Вершина графика квадратичной функции имеет координаты \((\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты в уравнении \(y=ax^2+bx+c\) функции. В нашем случае \(a = 1\), \(b = -7\) и \(c = 10\).

\(x=-\frac{-7}{2(1)}=\frac{7}{2}=3.5\)

Теперь, чтобы определить знак функции до и после вершины, мы можем выбрать точку, например, точку \(-\infty\) для проверки знака слева от вершины и точку \(+\infty\) для проверки знака справа от вершины. Давайте вычислим значения функции для этих точек:

Для \(x \rightarrow -\infty\):
\(y=(-\infty)^2-7(-\infty)+10=\infty\)
То есть, функция положительна при значениях \(x \rightarrow -\infty\).

Для \(x \rightarrow +\infty\):
\(y=(+\infty)^2-7(+\infty)+10=\infty\)
Снова, функция положительна при значениях \(x \rightarrow +\infty\).

Итак, функция положительна для всех значений x.

2) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать первую производную функции. Возьмем производную от \(y=x^2-7x+10\):

\(y" = 2x-7\)

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нам нужно найти значения x, при которых \(y" > 0\) (функция возрастает) и \(y" < 0\) (функция убывает). Решим неравенство \(2x-7 > 0\):

\(2x-7 > 0\)
\(2x > 7\)
\(x > \frac{7}{2}=3.5\)

Итак, функция возрастает при \(x > 3.5\). Более формально, интервал возрастания: \((3.5, +\infty)\).

3) Чтобы найти значения x, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение, нам нужно найти вершину графика функции. Мы уже нашли эти значения выше, вершина графика функции находится в точке \((3.5, -\frac{9}{4})\).

Таким образом, функция принимает наименьшее значение \(-\frac{9}{4}\) при \(x = 3.5\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять эту задачу и график функции. Если у вас появятся еще вопросы, не стесняйтесь задавать!