Составить график функции и основываясь на нем: 1) Определить значения х, при которых функция положительна

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово:

1) Для определения значений x, при которых функция положительна и отрицательна, нам нужно проанализировать знак функции y=x^2-7x+10. Для этого мы можем найти вершины графика, которые являются экстремумами функции. Вершина графика квадратичной функции имеет координаты $(\frac{-b}{2a},\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a})$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты в уравнении $y=a{x}^2+bx+c$ функции. В нашем случае $a=1$, $b=-7$ и $c=10$.

$x=-\frac{-7}{2(1)}=\frac{7}{2}=3.5$

Теперь, чтобы определить знак функции до и после вершины, мы можем выбрать точку, например, точку $-\mathrm{\infty }$ для проверки знака слева от вершины и точку $+\mathrm{\infty }$ для проверки знака справа от вершины. Давайте вычислим значения функции для этих точек:

Для $x\to -\mathrm{\infty }$:
$y=(-\mathrm{\infty }{)}^2-7(-\mathrm{\infty })+10=\mathrm{\infty }$
То есть, функция положительна при значениях $x\to -\mathrm{\infty }$.

Для $x\to +\mathrm{\infty }$:
$y=(+\mathrm{\infty }{)}^2-7(+\mathrm{\infty })+10=\mathrm{\infty }$
Снова, функция положительна при значениях $x\to +\mathrm{\infty }$.

Итак, функция положительна для всех значений x.

2) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать первую производную функции. Возьмем производную от $y=x^2-7x+10$:

$y"=2x-7$

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нам нужно найти значения x, при которых $y">0$ (функция возрастает) и $y"<0$ (функция убывает). Решим неравенство $2x-7>0$:

$2x-7>0$
$2x>7$
$x>\frac{7}{2}=3.5$

Итак, функция возрастает при $x>3.5$. Более формально, интервал возрастания: $(3.5,+\mathrm{\infty })$.

3) Чтобы найти значения x, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение, нам нужно найти вершину графика функции. Мы уже нашли эти значения выше, вершина графика функции находится в точке $(3.5,-\frac{9}{4})$.

Таким образом, функция принимает наименьшее значение $-\frac{9}{4}$ при $x=3.5$.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять эту задачу и график функции. Если у вас появятся еще вопросы, не стесняйтесь задавать!