Сократите дробно-рациональное выражение

Конечно! Чтобы сократить дробно-рациональное выражение, мы должны привести его к наименьшему знаменателю и затем выполнить необходимые алгебраические операции.

Предположим, у нас есть дробно-рациональное выражение \(\frac{A}{B}\), где \(A\) и \(B\) - это числители и знаменатели соответственно.

Первым шагом я рекомендую разложить выражение на простые дроби. Для этого используем факторизацию знаменателя \(B\).

После факторизации знаменателя выразим каждое слагаемое в виде простой дроби с общим знаменателем.

Затем сложим все простые дроби вместе и постараемся сократить полученное выражение.

Позвольте мне проиллюстрировать этот процесс на примере. Давайте рассмотрим дробно-рациональное выражение \(\frac{3x}{(x-1)(x+2)}\).

Шаг 1: Факторизация знаменателя

\(B = (x-1)(x+2)\)

Шаг 2: Разложение на простые дроби

\(\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}\)

Здесь \(A\) и \(B\) - это числители для простых дробей.

Шаг 3: Находим числители простых дробей

Чтобы найти числитель \(A\), умножим обе части равенства на \(x-1\):

\(3x = A(x+2) + B(x-1)\)

Раскроем скобки:

\(3x = Ax + 2A + Bx - B\)

Сгруппируем по переменным \(x\):

\(3x = (A + B)x + (2A - B)\)

Теперь мы можем установить равенство коэффициентов при одинаковых степенях \(x\):

\(A + B = 3\) (коэффициенты при \(x\))

\(2A - B = 0\) (коэффициенты без \(x\))

Шаг 4: Решаем систему уравнений

Решим эту систему уравнений для нахождения числителей \(A\) и \(B\).

Из уравнения \(2A - B = 0\), мы можем выразить \(B\):

\(B = 2A\)

Подставляем \(B = 2A\) в уравнение \(A + B = 3\):

\(A + 2A = 3\)

\(3A = 3\)

\(A = 1\)

Таким образом, мы нашли, что \(A = 1\) и \(B = 2\).

Шаг 5: Сложение простых дробей и сокращение

Теперь мы можем вернуться к нашему выражению и заменить числители \(A\) и \(B\) в простых дробях:

\(\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}\)

Теперь, чтобы сложить простые дроби, мы должны привести их к общему знаменателю:

\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2} = \frac{(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+2)}\)

Можем объединить числители:

\(\frac{(x+2) + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{x+2 + 2x - 2}{(x-1)(x+2)}\)

Сгруппируем переменные \(x\):

\(\frac{3x}{(x-1)(x+2)}\)

Мы видим, что после сложения простых дробей и сокращения мы получаем исходное дробно-рациональное выражение.

Таким образом, выражение \(\frac{3x}{(x-1)(x+2)}\) не может быть дальше сокращено.