см.рис. 1. В точках M и N пересекается две окружности. Прямая, которая проходит через точку M, пересекает окружности

Для решения данной задачи, нам понадобится использование свойств пересекающихся окружностей и свойств углов, образованных хордами и касательными.

Посмотрим на рисунок 1 и обозначим заданные точки и углы:

\(\angle MBD = \angle MAC = \theta\) (дано)
\(\angle MDB\) (угол между хордой и касательной)
\(\angle MND\) (угол между хордой и касательной)

\[
\begin{array}{ccc}
& \angle MBD = \angle MAC = \theta & \\
M-----B---------------------------------A \\
| \\
D C \\
\angle MDB \angle MND
\end{array}
\]

Свойство углов, образованных хордой и касательной говорит нам, что угол между хордой MDB и касательной MCN будет равен половине от центрального угла, соответствующего этих хорде и касательной. Таким образом, угол MDB равен половине угла MND.

Теперь посмотрим на треугольник MND. В нем сумма всех углов должна быть равна 180 градусам. Исходя из этого, получаем:

\(\angle MND + \angle MDN + \angle NMD = 180^\circ\)

Учитывая, что угол MDN и угол NMD равны, обозначим их за \(\alpha\):

\(\angle MND + \alpha + \alpha = 180^\circ \)
\(2\alpha = 180^\circ - \angle MND\)
\(\alpha = \frac{180^\circ - \angle MND}{2}\)

Таким образом, мы получили выражение для \(\alpha\) в зависимости от известного угла MND.

Теперь вернемся к углу MDB и применим свойство углов, образованных хордой и касательной:

\(\angle MDB = \frac{\angle MND}{2}\)
\(\theta = \frac{180^\circ - \angle MND}{2}\)

Мы видим, что полученное выражение равно \(\theta\). То есть угол MAC равен углу MBD.

Таким образом, ответ на задачу: угол MAC равен углу MBD.