Сколько задач решил Олег в последний день, если он увеличивал количество задач каждый день на одно и то же количество

Для решения данной задачи мы можем использовать принцип арифметической прогрессии, так как количество задач решаемых каждый день увеличивается на одно и то же количество.

Для начала, давайте найдем общее количество задач, которые Олег решил за 9 дней. Мы знаем, что Олег начал с 11 задач в первый день, и количество задач каждый день увеличивалось на одну.

Мы можем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В данном случае, первый член прогрессии \(a = 11\) (11 задач в первый день), разность прогрессии \(d = 1\) (количество задач увеличивается на одну каждый день), и количество дней (членов прогрессии) \(n = 9\).

Подставим значения в формулу и рассчитаем сумму:

\[S_9 = \frac{9}{2}(2 \cdot 11 + (9-1)1)\]

\[S_9 = \frac{9}{2}(22 + 8)\]

\[S_9 = \frac{9}{2}(30)\]

\[S_9 = 9 \cdot 15\]

\[S_9 = 135\]

Таким образом, Олег решил 135 задач за 9 дней.

Теперь осталось найти количество задач, которые Олег решил в последний день.

Мы знаем, что каждый день Олег увеличивал количество задач на одно и то же количество. Таким образом, разность прогрессии \(d = 1\).

Мы можем использовать формулу для нахождения \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a + (n - 1)d\]

где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии.

В данном случае, последний день является девятым днем, поэтому \(n = 9\). Мы уже знаем, что первый член прогрессии \(a = 11\), а разность прогрессии \(d = 1\).

Подставим значения в формулу и рассчитаем \(n\)-й член арифметической прогрессии:

\[a_9 = 11 + (9 - 1)1\]

\[a_9 = 11 + 8\]

\[a_9 = 19\]

Таким образом, Олег решил 19 задач в последний день.

Ответ: Олег решил 135 задач за 9 дней, а в последний день он решил 19 задач.