Сколько задач решил Олег в последний день, если он увеличивал количество задач каждый день на одно и то же количество

Для решения данной задачи мы можем использовать принцип арифметической прогрессии, так как количество задач решаемых каждый день увеличивается на одно и то же количество.

Для начала, давайте найдем общее количество задач, которые Олег решил за 9 дней. Мы знаем, что Олег начал с 11 задач в первый день, и количество задач каждый день увеличивалось на одну.

Мы можем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, $a$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии, $n$ - количество членов прогрессии.

В данном случае, первый член прогрессии $a=11$ (11 задач в первый день), разность прогрессии $d=1$ (количество задач увеличивается на одну каждый день), и количество дней (членов прогрессии) $n=9$.

Подставим значения в формулу и рассчитаем сумму:

$$S_9=\frac{9}{2}(2\cdot 11+(9-1)1)$$

$$S_9=\frac{9}{2}(22+8)$$

$$S_9=\frac{9}{2}(30)$$

$$S_9=9\cdot 15$$

$$S_9=135$$

Таким образом, Олег решил 135 задач за 9 дней.

Теперь осталось найти количество задач, которые Олег решил в последний день.

Мы знаем, что каждый день Олег увеличивал количество задач на одно и то же количество. Таким образом, разность прогрессии $d=1$.

Мы можем использовать формулу для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a+(n-1)d$$

где $a_n$ - $n$-й член прогрессии.

В данном случае, последний день является девятым днем, поэтому $n=9$. Мы уже знаем, что первый член прогрессии $a=11$, а разность прогрессии $d=1$.

Подставим значения в формулу и рассчитаем $n$-й член арифметической прогрессии:

$$a_9=11+(9-1)1$$

$$a_9=11+8$$

$$a_9=19$$

Таким образом, Олег решил 19 задач в последний день.

Ответ: Олег решил 135 задач за 9 дней, а в последний день он решил 19 задач.