Сколько задач было задано ученику в домашнем задании по математике, если он решил первую задачу за 1 час и на каждую

Для решения данной задачи создадим алгоритм:

1. Переведем 5 часов 24 минуты в минуты, чтобы у нас было одно единицы измерения времени. Это можно сделать, умножив 5 на 60 (количество минут в часе) и добавив 24:
\[ 5 \times 60 + 24 = 324 \] минуты.

2. Заметим, что ученик тратит на каждую задачу на 6 минут меньше времени, чем на предыдущую. Это означает, что время, которое ученик тратит на первую задачу, равно времени, которое он тратит на вторую задачу плюс 6 минут, а время, которое ученик тратит на вторую задачу, равно времени, которое он тратит на третью задачу плюс 6 минут, и так далее.

3. Используя это наблюдение, мы можем представить общее количество времени, затраченное на все задачи, следующим образом:
\[ t + (t + 6) + (t + 2 \times 6) + (t + 3 \times 6) + \ldots \]

4. Чтобы найти общее количество задач, нужно знать, сколько раз ученик повторяет "шаблон" t + (t + 6) + (t + 2 \times 6) + (t + 3 \times 6) + \ldots и сколько остается времени на выполнение последней задачи.

5. Заменим t на число минут, затрачиваемое на первую задачу: t = 60. Тогда на выполнение второй задачи ученик потратит 60 + 6 минут, на выполнение третьей задачи - 60 + 2 \times 6 минуты, и так далее.

6. На каждую следующую задачу ученик будет тратить на 6 минут меньше времени, поэтому общее количество задач будет определяться формулой:
\[ t + (t + 6) + (t + 2 \times 6) + \ldots + (t + n \times 6) \]

7. Распишем эту сумму для n задач:
\[ S = (t + (t + 6) + (t + 2 \times 6) + \ldots + (t + (n-1) \times 6) \]

8. Мы знаем, что общее количество времени на выполнение всех задач составляет 324 минуты.
\[ S = 324 \]

9. Подставим значение t = 60 в формулу и решим уравнение для n:
\[ 60 + (60 + 6) + (60 + 2 \times 6) + \ldots + (60 + (n-1) \times 6) = 324 \]

10. Упростим формулу:
\[ 60n + 6 + 12 + \ldots + (6 \times (n-1)) = 324 \]
\[ 60n + 6(1 + 2 + \ldots + (n-1)) = 324 \]

11. Обратим внимание на часть 1 + 2 + \ldots + (n-1), которая является суммой арифметической прогрессии.
\[ 1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{(n-1) \cdot n}{2} \]

12. Подставим это значение в уравнение:
\[ 60n + 6 \cdot \frac{(n-1) \cdot n}{2} = 324 \]

13. Раскроем скобки:
\[ 60n + 3(n-1) \cdot n = 324 \]

14. Упростим уравнение:
\[ 60n + 3(n^2 - n) = 324 \]
\[ 60n + 3n^2 - 3n = 324 \]
\[ 3n^2 + 57n - 324 = 0 \]

15. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 57^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-324) = 57^2 + 4 \cdot 3 \cdot 324 = 44841 \]

16. Найдем корни уравнения:
\[ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-57 \pm \sqrt{44841}}{6} \approx \frac{-57 \pm 211.8}{6} \]

17. Поскольку количество задач должно быть положительным числом, мы можем игнорировать отрицательное значение в формуле \( n \).
\[ n \approx \frac{-57 + 211.8}{6} \approx \frac{154.8}{6} \approx 25.8 \]

18. Ответ: ученику было задано около 25 задач по математике в домашнем задании.