Сколько выпуклых четырёхугольников можно построить, используя отмеченные вершины и середины сторон правильного

Когда мы строим выпуклые четырехугольники, мы выбираем 4 вершины из имеющихся, чтобы задать форму фигуры. В данной задаче, у нас есть отмеченные вершины и середины сторон правильного 8-угольника.

Давайте рассмотрим решение по шагам:

Шаг 1: В этом шаге мы построим список всех возможных четырехугольников, используя отмеченные вершины и середины сторон правильного 8-угольника:

- Выберем одну из отмеченных вершин. У нас есть 8 вариантов для выбора первой вершины.
- Выберем одну из середин сторон, соединенных с выбранной вершиной в предыдущем шаге. У нас осталось 7 отмеченных вершин и 8 середин сторон для выбора.
- Выберем вторую вершину из оставшихся отмеченных вершин, не равных предыдущей вершине. Остается 6 отмеченных вершин для выбора второй.
- Выберем одну из середин сторон, соединенных с выбранной второй вершиной. У нас осталось 5 отмеченных вершин и 8 середин сторон для выбора.
- Выберем третью вершину из оставшихся отмеченных вершин. Остается 4 отмеченных вершины для выбора третьей.
- Выберем одну из середин сторон, соединенных с выбранной третьей вершиной. У нас осталось 3 отмеченных вершины и 8 середин сторон для выбора.
- Выберем четвертую вершину из оставшихся отмеченных вершин. Остается 2 отмеченных вершины для выбора.
- Выберем одну из середин сторон, соединенных с выбранной четвертой вершиной. У нас осталось 1 отмеченная вершина и 8 середин сторон для выбора.

Шаг 2: После выполнения всех возможных выборов, мы получим общее количество комбинаций 4 вершин из отмеченных вершин и 4 середин сторон, которые мы выбрали:

\(8 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 8 = 2,097,152\)

Итак, мы можем построить 2,097,152 выпуклых четырехугольника, используя отмеченные вершины и середины сторон правильного 8-угольника.