Сколько всего различных ключей существует для шифрсистемы, если ключом является таблица 4×4 с цифрами 0, 1 и 2 в каждой

Данная задача относится к комбинаторике и требует перечисления всех возможных ключей, удовлетворяющих заданным условиям. Давайте пошагово разберемся, сколько всего различных ключей можно составить.

В каждой ячейке таблицы могут находиться только цифры 0, 1 и 2. Таким образом, у нас есть три варианта выбора для каждой ячейки. В таблице 4×4 всего 16 ячеек, поэтому всего возможных комбинаций будет \(3^{16}\).

Однако, не все комбинации будут удовлетворять заданным условиям. Мы должны проверить сумму цифр в каждой строке, каждом столбце и обеих пунктирных диагоналях.

Для начала, рассмотрим сумму цифр в каждой строке. Примем следующие обозначения:

\(S_1\) - сумма цифр в первой строке
\(S_2\) - сумма цифр во второй строке
\(S_3\) - сумма цифр в третьей строке
\(S_4\) - сумма цифр в четвертой строке

Заметим, что каждая сумма \(S_1, S_2, S_3, S_4\) должна быть кратной 3. Так как каждая цифра может быть только 0, 1 или 2, то сумма цифр в каждой строке также может быть только 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 или 13. Из этих чисел только 4, 6, 9, 12 и 0 делятся на 3.

Рассмотрим сумму цифр в каждом столбце. Аналогично обозначим:

\(C_1\) - сумма цифр в первом столбце
\(C_2\) - сумма цифр во втором столбце
\(C_3\) - сумма цифр в третьем столбце
\(C_4\) - сумма цифр в четвертом столбце

Также каждая сумма \(C_1, C_2, C_3, C_4\) должна быть кратной 3 и может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 или 13, из которых снова только 4, 6, 9, 12 и 0 делятся на 3.

Наконец, рассмотрим сумму цифр на пунктирных диагоналях:

\(D_1\) - сумма цифр на пунктирной диагонали 1 (с левого верхнего угла к правому нижнему)
\(D_2\) - сумма цифр на пунктирной диагонали 2 (с правого верхнего угла к левому нижнему)

Аналогично, каждая сумма \(D_1\) и \(D_2\) должна быть кратной 3 и может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 или 13, из которых снова только 4, 6, 9, 12 и 0 делятся на 3.

Теперь, чтобы найти количество возможных ключей, удовлетворяющих всем условиям, мы должны посчитать количество комбинаций цифр \(S_1, S_2, S_3, S_4, C_1, C_2, C_3, C_4, D_1\) и \(D_2\), которые являются кратными 3.

Количество таких комбинаций можно найти, применив принцип счёта и рассмотрев каждую возможную сумму. Например, для \(S_1\) существует только 5 возможных значений: 0, 3, 6, 9 и 12. Аналогично, для \(S_2, S_3, S_4, C_1, C_2, C_3, C_4, D_1\) и \(D_2\) также существует по 5 возможных значений.

Таким образом, общее число ключей будет равно произведению количества возможных значений для каждой суммы: \(5^{10}\).

Итак, общее количество различных ключей для данной шифрсистемы с заданными условиями составляет \(5^{10}\), что равно \(\boxed{9765625}\).