Сколько возможных исходов подраздения 8 девушек и 6 юношей на две равные подгруппы? а) Сколько исходов благоприятствуют

Для решения этой задачи нам потребуется использовать комбинаторику. По заданию, у нас есть 8 девушек и 6 юношей, и мы должны разделить их на две равные подгруппы.

а) Для того чтобы все юноши оказались в одной подгруппе, нужно выбрать одну из подгрупп, в которую они все попадут, и затем распределить оставшихся учеников по оставшейся подгруппе. Так как нам необходимо рассматривать все возможные исходы, мы должны учесть все возможные способы разделить девушек на подгруппы. Ответ на этот вопрос будет представлять собой количество способов выбрать подгруппу для юношей и количество способов распределить оставшихся учеников по подгруппам.

Количество способов выбрать подгруппу для юношей: \(\binom{2}{1} = 2\), так как у нас есть две подгруппы, и мы выбираем одну из них для юношей.
Количество способов распределить оставшихся учеников по подгруппам: \(\binom{8+6-1}{8} = \binom{13}{8} = 1287\), это число сочетаний из 13 человек по 8.

Таким образом, общее количество исходов, при которых все юноши окажутся в одной подгруппе, будет равно произведению этих двух чисел: \(2 \times 1287 = 2574\).

б) Теперь нас интересует количество исходов, при которых все юноши будут в одной подгруппе, но нет ограничений на распределение девушек. Для решения этой задачи мы также должны рассмотреть все возможные способы выбора подгруппы для юношей, но на этот раз мы не нуждаемся в ограничениях на разделение девушек. Так как они могут быть разделены как угодно, ответом будет просто количество способов выбрать подгруппу для юношей.

Количество способов выбрать подгруппу для юношей остается то же самое: \(2\).

в) Чтобы выяснить, сколько возможных исходов благоприятствует тому, чтобы все юноши были в одной подгруппе, нам необходимо рассмотреть все возможные разделения юношей на подгруппы и все возможные разделения девушек на подгруппы. Мы должны выбрать одну подгруппу для юношей и одну подгруппу для девушек из всех возможных их комбинаций. Таким образом, ответом будет произведение количества способов выбора подгруппы для юношей и количество способов выбора подгруппы для девушек.

Количество способов выбора подгруппы для юношей: \(2\).
Количество способов выбора подгруппы для девушек: \(\binom{8}{4} = 70\), число сочетаний из 8 девушек по 4.

Общее количество исходов, благоприятствующих условию, что все юноши будут в одной подгруппе, будет равно произведению этих двух чисел: \(2 \times 70 = 140\).

г) В конечном счете, наша задача состоит в определении количества исходов, при которых все юноши окажутся в одной подгруппе. Поэтому ответ на этот вопрос будет таким же, как и в пункте а): 2574.