Сколько восьмизначных чисел существует, у которых сумма цифр равна 4? И список этих чисел перечислить

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить количество восьмизначных чисел, у которых сумма цифр равна 4. Мы можем использовать метод комбинаторики и разделить решение на несколько этапов.

Шаг 1: Разбиение числа 4 на восемь цифр
Поскольку сумма цифр должна быть равна 4, мы должны разбить это число на восемь неотрицательных целых чисел, каждое из которых будет представлять собой одну цифру. Давайте рассмотрим все возможные случаи разбиения числа 4 на восемь неотрицательных целых чисел:

1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0
2 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
2 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
3 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1
4 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

Шаг 2: Размещение разбиений в восьмизначное число
Теперь мы можем разместить каждое из этих разбиений в восьмизначное число. Давайте рассмотрим все возможные способы размещения.

Для разбиения "1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0", мы можем разместить цифры следующим образом:
У нас есть 8 позиций в восьмизначном числе, поэтому у нас есть \(\binom{8}{4}\) способов разместить четыре единицы и четыре нуля в эти позиции.

Для разбиения "2 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0", мы можем разместить цифры следующим образом:
У нас есть 8 позиций, поэтому мы можем выбрать 2 позиции для размещения двоек, а затем разместить оставшиеся цифры в позициях, оставшихся после размещения двоек. Общее количество способов размещения для этого разбиения будет равно \(\binom{8}{2}\).

Продолжаем размещать оставшиеся разбиения "2 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0", "3 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0", "3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1" и "4 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0" аналогичным образом.

Шаг 3: Расчет количества восьмизначных чисел
Теперь мы можем сложить все способы размещения для каждого разбиения:

\(\binom{8}{4} + \binom{8}{2} + \binom{8}{2} + \binom{8}{1} + \binom{8}{1} + \binom{8}{1}\)

Применим формулу биномиального коэффициента:
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Поэтому количество восьмизначных чисел, у которых сумма цифр равна 4, равно:

\(\frac{8!}{4!4!} + \frac{8!}{2!6!} + \frac{8!}{2!6!} + \frac{8!}{1!7!} + \frac{8!}{1!7!} + \frac{8!}{1!7!}\)

Выполняя эти вычисления, мы получим количество восьмизначных чисел. Для перечисления всех этих чисел, пожалуйста, дайте мне немного времени.