Сколько вариантов существуют для соединительных линий, проходящих через концы указанных 10 точек окружности?

Для решения этой задачи нам потребуется знание комбинаторики, а именно понятие сочетаний. Сочетанием называется упорядоченный или неупорядоченный набор объектов (элементов) из данного множества. Используем формулу для комбинаторных чисел "число сочетаний из n по k" для нашей задачи.

Чтобы определить количество вариантов соединительных линий, проходящих через указанные точки на окружности, нам нужно выбрать две из этих точек. Так как порядок точек не имеет значения (линия может быть нарисована в любом направлении), нам потребуется использовать неупорядоченные сочетания.

В данной задаче у нас имеется 10 точек на окружности. Чтобы найти количество возможных соединительных линий, мы должны выбрать 2 точки из этих 10. Поэтому мы ищем число сочетаний из 10 по 2.

Используем формулу для комбинаторных чисел:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где n - общее количество объектов (точек), k - количество объектов (точек), которые мы хотим выбрать.

Применяя эту формулу для нашей задачи, мы получим:

\[
C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2!(10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}}
\]

Вычислим факториалы:

\[
10! = 10 \cdot 9 \cdot 8! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3628800
\]

\[
2! = 2 \cdot 1 = 2
\]

\[
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320
\]

Теперь, подставляя значения в нашу формулу, мы получим:

\[
C(10, 2) = \frac{{3628800}}{{2 \cdot 40320}}
\]

\[
C(10, 2) = \frac{{3628800}}{{80640}}
\]

\[
C(10, 2) = 45
\]

Таким образом, количество вариантов соединительных линий, проходящих через концы указанных 10 точек окружности, равно 45.