Какую сумму квадратов корней имеет уравнение 2||x|-4|-6=0?

Дано уравнение: \(2||x|-4|-6=0\). Чтобы решить это уравнение, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Упрощение выражения

Для начала давайте посмотрим на выражение внутри двух модулей: \(|x|-4\).

Мы знаем, что модуль выражает расстояние до нуля на числовой оси. Поэтому \(|x|-4\) может быть положительным или отрицательным.

Если \(|x|-4\) положительный, то мы можем записать это как \(x-4\).

Если \(|x|-4\) отрицательный, то мы можем записать это как \(-(x-4)\), или \(-x+4\).

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом: \(2(|x|-4)-6=0\).

Шаг 2: Устранение модулей

Теперь мы можем устранить модули и записать наше уравнение как два отдельных уравнения, учитывая оба случая:
1) Если \(|x|-4\) положительный (т.е. \(|x|-4 = x-4\)), то наше уравнение принимает вид: \(2(x-4)-6=0\).
2) Если \(|x|-4\) отрицательный (т.е. \(|x|-4 = -x+4\)), то наше уравнение принимает вид: \(2(-x+4)-6=0\).

Шаг 3: Решение линейных уравнений

Давайте решим каждое из полученных уравнений:

1) \(2(x-4)-6=0\)
Раскроем скобки: \(2x-8-6=0\)
Сократим слагаемые: \(2x-14=0\)
Прибавим 14 к обеим сторонам уравнения: \(2x=14\)
Разделим обе стороны на 2: \(x=7\)

2) \(2(-x+4)-6=0\)
Раскроем скобки: \(-2x+8-6=0\)
Сократим слагаемые: \(-2x+2=0\)
Вычтем 2 из обеих сторон уравнения: \(-2x=-2\)
Разделим обе стороны на -2: \(x=1\)

Таким образом, уравнение \(2||x|-4|-6=0\) имеет два корня: \(x=7\) и \(x=1\).

Шаг 4: Нахождение суммы квадратов корней

Теперь, для определения суммы квадратов корней, мы возведем каждый корень в уравнении в квадрат, а затем сложим эти квадраты.

Для корня \(x=7\): \(7^2=49\)

Для корня \(x=1\): \(1^2=1\)

Теперь сложим квадраты: \(49+1=50\)

Итак, сумма квадратов корней уравнения \(2||x|-4|-6=0\) равна 50.