Сколько вариантов существует для формирования стартовой шестерки хокейной команды, состоящей из одного вратаря, двух

Для решения этой задачи нам нужно использовать комбинаторику и принцип перестановок.

Сначала выбираем одного вратаря из 3-х доступных. У нас есть всего 3 варианта для этого выбора.
Затем выбираем двух защитников из 8-ми доступных. Для этого нам нужно использовать формулу сочетаний:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \( n \) - общее количество элементов, а \( k \) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае \( n = 8 \) и \( k = 2 \):

\[
C(8, 2) = \frac{{8!}}{{2! \cdot (8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 6!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} = 28
\]

Таким образом, есть 28 способов выбрать двух защитников из 8-ми.

Затем выбираем трех нападающих из 12-ти доступных. Используем ту же формулу сочетаний:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3! \cdot (12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 220
\]

Таким образом, есть 220 способов выбрать трех нападающих из 12-ти.

Наконец, мы должны объединить все выбранных игроков в одну команду. Чтобы это сделать, мы должны перемножить количество способов выбора каждой позиции:

Всего способов формирования команды будет:

\[
3 \cdot 28 \cdot 220 = 18,480
\]

Таким образом, имеется 18,480 вариантов для формирования стартовой шестерки хокейной команды, состоящей из одного вратаря, двух защитников и трех нападающих.