Сколько вариантов составления команды из 15 спортсменов, где будет один командир команды и пять игроков?

Для решения данной задачи, воспользуемся комбинаторикой. Мы должны выбрать одного спортсмена на роль командира из 15 доступных спортсменов и после этого выбрать 5 игроков из оставшихся 14 спортсменов.

Для выбора командира у нас есть 15 вариантов, так как каждого из 15 спортсменов можно выбрать на эту роль. После выбора командира, у нас останется 14 спортсменов, из которых мы должны выбрать 5 игроков. Для этого воспользуемся сочетаниями.

Сочетание — это комбинаторный объект, который представляет собой выбор подмножества \(k\) элементов из данного множества без учета порядка. Общая формула для вычисления сочетания:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где символ "!" означает факториал числа. Значение факториала для натурального числа \(n\) обозначается так: \(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

В нашей задаче мы должны выбрать 5 игроков из 14 доступных спортсменов, поэтому будем использовать формулу для сочетаний:
\[C_{14}^5 = \frac{{14!}}{{5! \cdot (14-5)!}}\]

Теперь осталось только вычислить значение этого выражения:

\[C_{14}^5 = \frac{{14!}}{{5! \cdot 9!}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

После упрощения выражения, получим:

\[C_{14}^5 = 2002\]

Итак, существует 2002 различных варианта составления команды из 15 спортсменов, где будет один командир команды и пять игроков.