3. Для каких значений k и l, где 0 < k < 4/3 и 0 < l < 2/3, можно записать следующие неравенства: a) k^2 + l^2

Задача 3:
а) Для того чтобы неравенство \(k^2 + l^2\) выполнялось, необходимо, чтобы оба слагаемых были неотрицательными числами. Так как \(0 < k < \frac{4}{3}\), то \(k\) находится в интервале от 0 до \(\frac{4}{3}\). Аналогично, так как \(0 < l < \frac{2}{3}\), то \(l\) находится в интервале от 0 до \(\frac{2}{3}\). Следовательно, для любых значений \(k\) и \(l\) из указанных интервалов неравенство \(k^2 + l^2\) будет выполняться.

б) Для того чтобы неравенство \(k^{-1}l^{-1}\) выполнялось, необходимо, чтобы оба множителя были положительными числами. Из условия задачи известно, что \(0 < k < \frac{4}{3}\) и \(0 < l < \frac{2}{3}\). Рассмотрим обратные значения этих чисел: \(\frac{3}{4} < k^{-1} < \frac{4}{3}\) и \(\frac{3}{2} < l^{-1} < \frac{2}{3}\). Таким образом, неравенство \(k^{-1}l^{-1}\) будет выполняться для любых значений \(k\) и \(l\) из указанных интервалов.

Задача 4:
Для того чтобы доказать данное неравенство \(\frac{(m+n)^2}{2} \leq m^2 + n^2\), воспользуемся следующими шагами:
1) Раскроем квадрат в числителе: \(\frac{m^2 + 2mn + n^2}{2} \leq m^2 + n^2\).
2) Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: \(m^2 + 2mn + n^2 - 2m^2 - 2n^2 \leq 0\).
3) Упростим выражение: \(m^2 - 2m^2 + 2mn + n^2 - 2n^2 \leq 0\).
4) Сгруппируем подобные слагаемые: \(-m^2 + 2mn - n^2 \leq 0\).
5) Преобразуем выражение к виду квадратного трехчлена: \(-(m^2 - 2mn + n^2) \leq 0\).
6) Воспользуемся формулой квадратного трехчлена: \(-(m - n)^2 \leq 0\).
7) Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому данное неравенство выполняется при любых значениях \(m\) и \(n\).

Таким образом, неравенство \(\frac{(m+n)^2}{2} \leq m^2 + n^2\) верно для любых значений \(m\) и \(n\).

Задача 5:
Если \(a > 0\) и \(b < 0\), то произведение \(ab\) будет иметь отрицательный знак. Это происходит потому, что у нас есть умножение положительного числа на отрицательное число, что приводит к получению отрицательного значения.

Таким образом, произведение \(ab\) будет иметь знак "меньше" нуля.

Задача 6:
Для того чтобы доказать неравенство \(a^3 > (a-1)(a^2+a+1)\), воспользуемся следующими шагами:
1) Раскроем скобки в правой части: \(a^3 > (a^2 - a + a)(a^2 + a + 1)\).
2) Упростим выражение: \(a^3 > a(a^2 + a + 1)\).
3) Раскроем скобку: \(a^3 > a^3 + a^2 + a\).
4) Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: \(a^3 - a^3 - a^2 - a > 0\).
5) Упростим выражение: \(-a^2 - a > 0\).
6) Умножим все слагаемые на -1, меняя при этом знак неравенства: \(a^2 + a < 0\).
7) Разложим на множители: \(a(a + 1) < 0\).

Теперь рассмотрим два случая:
а) Если \(a < 0\), то неравенство выполнено, так как произведение двух отрицательных чисел даёт положительное значение, а наше выражение \(a(a + 1)\) будет отрицательным при \(a < 0\).
б) Если \(a > 0\), то неравенство не выполнено, так как произведение положительного и положительного чисел даёт положительное значение, а \(a(a + 1)\) будет положительным при \(a > 0\).

Таким образом, при \(a > 0\) неравенство \(a^3 > (a-1)(a^2+a+1)\) не выполняется, а при \(a < 0\) выполняется.