Какое значение параметра делает неравенство ax^2 – 2(a – 1)x + a + 3 ≥ 0 верным для всех значений x на числовой прямой?

Чтобы найти значение параметра a, при котором неравенство \(ax^2 - 2(a-1)x + a + 3 \geq 0\) будет верным для всех значений x на числовой прямой, мы должны найти значения a, при которых дискриминант уравнения равен или меньше нуля.

Дискриминант уравнения \(ax^2 - 2(a-1)x + a + 3\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(b = -2(a-1)\), \(a = a\) и \(c = a + 3\).

Подставим эти значения в формулу:
\(D = (-2(a-1))^2 - 4a(a + 3)\)

Раскроем скобки и упростим выражение:
\(D = 4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 - 12a\)
\(D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 - 12a\)
\(D = -20a + 4\)

Теперь, чтобы неравенство было верным для всех x, дискриминант \(D\) должен быть меньше или равен нулю: \(D \leq 0\).

Подставим выражение для \(D\) и решим неравенство:
\(-20a + 4 \leq 0\)

Добавим \(20a\) к обеим частям неравенства:
\(4 \leq 20a\)

Разделим обе части неравенства на 20:
\(\frac{4}{20} \leq a\)

Упростим дробь:
\(\frac{1}{5} \leq a\)

Таким образом, значение параметра \(a\) должно быть больше или равно \(\frac{1}{5}\), чтобы неравенство было верным для всех значений \(x\) на числовой прямой.

Чтобы найти наименьшее значение параметра \(a\) удовлетворяющего этому условию, мы берем минимальное значение из множества допустимых значений. В данном случае, наименьшее значение параметра \(a\) равно \(\frac{1}{5}\).