Сколько вариантов размещения 8 человек в номерах гостиницы следующего типа: 2 одноместных, 1 двуместном, 0 трехместных

Задача связана с теорией комбинаторики и подразумевает решение с использованием понятия перестановок и комбинаций.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать комбинаторный анализ. Мы знаем, что существует 8 человек, которых нужно разместить в номерах гостиницы определенного типа - 2 одноместных, 1 двуместном, 0 трехместных и 1 четырехместном.

Сначала рассмотрим одноместные номера. У нас есть 2 одноместных номера и 8 человек, которые могут быть размещены в этих номерах. Поскольку порядок размещения в одноместных номерах не имеет значения, используем комбинации для нахождения количества вариантов размещения. Формула для комбинации без учета порядка размещения выглядит следующим образом:

\(^nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашей задаче, \(n = 8\) (всего 8 человек) и \(k = 2\) (2 одноместных номера). Подставив значения в формулу комбинации, получаем:

\(^8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \cdot 6!} = 8 \cdot 7 = 56\).

Таким образом, у нас есть 56 вариантов размещения 8 человек в одноместных номерах.

Теперь рассмотрим двуместный номер. У нас есть 1 двуместный номер и оставшиеся 6 человек. В данном случае порядок размещения имеет значение, поэтому мы будем использовать формулу для нахождения перестановок:

\(^nP_k = \frac{n!}{(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, \(n = 6\) (оставшиеся 6 человек) и \(k = 2\) (2 места в двуместном номере). Подставив значения в формулу перестановок, получаем:

\(^6P_2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30\).

Таким образом, у нас есть 30 вариантов размещения оставшихся 6 человек в двуместном номере.

Для трехместных номеров у нас нет доступных мест, поэтому количество вариантов равно 0.

Теперь рассмотрим четырехместный номер. У нас есть 1 четырехместный номер и оставшиеся 3 человека. В данном случае порядок размещения имеет значение, поэтому мы снова будем использовать формулу для нахождения перестановок:

\(^3P_3 = \frac{3!}{(3-3)!} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\).

Таким образом, у нас есть 6 вариантов размещения оставшихся 3 человек в четырехместном номере.

Теперь, чтобы найти общее количество вариантов размещения, мы должны перемножить количество вариантов для каждого типа номера:

Общее количество вариантов размещения = количество вариантов размещения одноместных номеров × количество вариантов размещения двуместного номера × количество вариантов размещения трехместных номеров × количество вариантов размещения четырехместного номера

Общее количество вариантов размещения = 56 × 30 × 0 × 6 = 0.

Таким образом, общее количество вариантов размещения 8 человек в номерах гостиницы указанного типа равно 0.