Сколько уникальных кодовых слов длиной до 5 символов, состоящих из четырехбуквенного алфавита (А, В, С, D) и содержащих

Хорошо, давайте посчитаем количество уникальных кодовых слов с заданными условиями.

Поскольку у нас есть четырехбуквенное алфавитное множество (А, В, С, D) и мы должны составить кодовое слово длиной до 5 символов, с одной буквой А, у нас есть несколько возможных случаев:

1. Кодовое слово содержит только одну букву А:

В данном случае, у нас есть 1 вариант для размещения буквы А на одной из пяти позиций слова (в начале, в конце или посередине). После этого, на оставшиеся позиции можно разместить любые символы из оставшихся трех возможных букв. Таким образом, у нас будет \(1 \times 3^4\) = 81 уникальное кодовое слово.

2. Кодовое слово содержит две буквы А:

В данном случае, у нас есть 1 вариант для размещения первой буквы А и 4 варианта для размещения второй буквы А. Затем, на оставшиеся позиции можно разместить любые символы из оставшихся двух возможных букв. Таким образом, у нас будет \(1 \times 4 \times 2^3\) = 32 уникальных кодовых слова.

3. Кодовое слово содержит три буквы А:

В данном случае, у нас есть 1 вариант для размещения первой буквы А, 4 варианта для размещения второй буквы А и 3 варианта для размещения третьей буквы А. Затем, на оставшуюся позицию можно разместить любой символ из оставшейся одной возможной буквы. Таким образом, у нас будет \(1 \times 4 \times 3 \times 1\) = 12 уникальных кодовых слов.

4. Кодовое слово содержит четыре буквы А:

В данном случае, у нас есть 1 вариант для размещения каждой из четырех букв А. Затем, на пятую позицию можно разместить любой символ из оставшихся трех возможных букв. Таким образом, у нас будет \(1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 3\) = 3 уникальных кодовых слова.

Теперь, чтобы найти общее количество уникальных кодовых слов, мы можем просуммировать результаты для каждого из случаев:

\(81 + 32 + 12 + 3 = 128\) уникальных кодовых слова.

Итак, ответ на задачу составляет 128 уникальных кодовых слов длиной до 5 символов, состоящих из четырехбуквенного алфавита (A, B, C, D) и содержащих ровно одну букву A.