Как найти максимальную сумму коэффициентов уравнения x² + bx + c = 0, если корнями являются два числа из заданной

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства и коэффициенты квадратного уравнения. Для начала, давайте запишем общий вид квадратного уравнения с неизвестными коэффициентами \(b\) и \(c\):

\[x^2 + bx + c = 0\]

Зная, что корнями являются два числа из заданной последовательности, мы можем воспользоваться свойствами квадратных уравнений для определения значений этих коэффициентов.

Пусть корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\), соответственно. Тогда по свойствам квадратных уравнений:

\[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0\]

Мы знаем, что для завершения последовательности используется число 1001. Таким образом, мы можем записать уравнение с учетом этого условия:

\[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = (x - 1001)(x - x_1)(x - x_2) = 0\]

Раскрыв скобки, получим:

\[x^3 - (x_1 + x_2 + 1001)x^2 + (1001x_1 + 1001x_2 - x_1x_2)x - 1001x_1x_2 = 0\ \ \ \ (1)\]

Мы хотим найти максимальную сумму коэффициентов уравнения \(x^2 + bx + c = 0\). Заметим, что в уравнении (1) коэффициент при \(x^2\) равен \(- (x_1 + x_2 + 1001)\), коэффициент при \(x\) равен \((1001x_1 + 1001x_2 - x_1x_2)\), а свободный член равен \(- 1001x_1x_2\). Чтобы максимизировать сумму коэффициентов, мы можем максимизировать каждый из этих трех коэффициентов.

Учитывая условие задачи, что числа меньше 1000 по модулю, мы можем предположить, что корни \(x_1\) и \(x_2\) являются такими числами. Поскольку мы не можем найти специфические значения \(x_1\) и \(x_2\) без знания конкретной последовательности, от нас требуется только максимизировать сумму коэффициентов.

Таким образом, чтобы получить максимальную сумму коэффициентов, мы выберем \(x_1 = -999\) и \(x_2 = -998\), так как эти числа удовлетворяют условию задачи и максимизируют вышеупомянутые три коэффициента.

Подставляя \(x_1 = -999\) и \(x_2 = -998\) в уравнение (1), получаем:

\[x^3 - (-999 - 998 + 1001)x^2 + (1001 \cdot -999 + 1001 \cdot -998 - (-999) \cdot (-998))x - 1001 \cdot -999 \cdot -998 = 0\]

Значение коэффициента при \(x^2\) равно \(4\), коэффициент при \(x\) равен \(-3004\), а свободный член равен \(997002\).

Таким образом, максимальная сумма коэффициентов уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) равна \(4 + (-3004) + 997002 = 994002\).

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам понять, как найти максимальную сумму коэффициентов уравнения при заданных условиях. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!