Сколько учащихся решили и арифметическую и геометрическую задачи в математической олимпиаде, в которой участвовало

По условию задачи, из 50 учащихся у нас есть две группы: одна, которая решила арифметическую задачу, и вторая, которая решила геометрическую задачу. Наша задача - определить, сколько учащихся решили обе задачи.

Пусть \(A\) - это количество учащихся, решивших арифметическую задачу, и \(G\) - количество учащихся, решивших геометрическую задачу. Мы знаем, что \(A = 40\) и что в общей сложности участвовало 50 учащихся.

Теперь используем известные данные для решения задачи. По условию, мы хотим найти количество учащихся, которые решили и арифметическую, и геометрическую задачи. Обозначим это число как \(X\).

Так как на олимпиаде участвовало 50 учащихся, мы можем представить это в виде суммы трех групп: тех, кто решил только арифметическую задачу (\(A - X\)), тех, кто решил только геометрическую задачу (\(G - X\)), и тех, кто решил обе задачи (\(X\)). То есть, мы можем записать следующее уравнение:

\[A + G - X + X = 50\]

Теперь заменим известные значения:

\[40 + G - X + X = 50\]

Мы видим, что \(X\) сокращается, оставляя нам следующее уравнение:

\[40 + G = 50\]

Теперь вычтем 40 с обеих сторон:

\[G = 50 - 40\]

Вычислим выражение:

\[G = 10\]

Таким образом, 10 учащихся решили только геометрическую задачу.

Теперь, чтобы найти количество учащихся, которые решили и арифметическую, и геометрическую задачи, мы подставляем найденное значение \(G\) в уравнение:

\[X = G\]

То есть, в нашем случае \(X = 10\).

Итак, по результатам олимпиады, 10 учащихся решили и арифметическую, и геометрическую задачи.