Сколько трёхместных номеров имеется в гостинице, если в ней всего 20 номеров и в них 37 мест? Запишите решение и ответ

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо учесть два фактора: количество номеров и количество мест в каждом номере.

У нас есть 20 номеров в гостинице. Каждый номер может содержать максимум 37 мест. Теперь нам нужно найти количество трехместных номеров.

Давайте рассмотрим возможные варианты:

1) Если в номере все 3 места заняты, то нам понадобится 3 места для каждого номера.
2) Если в номере заняты только 2 места, то у нас будет одно свободное место.
3) Если в номере занято только 1 место, то у нас будет два свободных места.

Теперь нам нужно рассмотреть все возможности для каждого из указанных случаев:

1) В номере все три места заняты. В этом случае нам необходимо выбрать 3 места из общего количества доступных мест в гостинице (37 мест). Это можно сделать при помощи формулы сочетаний:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где:
- \(n\) - общее количество элементов (мест в гостинице),
- \(k\) - количество элементов, которые нужно выбрать (места в трехместных номерах).

В нашем случае, у нас есть 37 доступных мест и нужно выбрать 3 места. Подставим значения в формулу:

\[
C(37, 3) = \frac{{37!}}{{3!(37-3)!}} = \frac{{37!}}{{3!34!}} = \frac{{37 \cdot 36 \cdot 35}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 37 \cdot 36 \cdot 35 = 46,620
\]

Таким образом, существует 46,620 трехместных номеров, если все места заняты.

2) В номере занято только 2 места. В этом случае нам понадобится выбрать 2 места из 37 доступных. Рассчитаем количество таких комбинаций:

\[
C(37, 2) = \frac{{37!}}{{2!(37-2)!}} = \frac{{37!}}{{2!35!}} = \frac{{37 \cdot 36}}{{2 \cdot 1}} = 37 \cdot 18 = 666
\]

Таким образом, существует 666 трехместных номеров, если 2 места заняты.

3) В номере занято только 1 место. В этом случае нам понадобится выбрать 1 место из 37 доступных. Рассчитаем количество таких комбинаций:

\[
C(37, 1) = \frac{{37!}}{{1!(37-1)!}} = \frac{{37!}}{{1!36!}} = \frac{{37}}{{1}} = 37
\]

Таким образом, существует 37 трехместных номеров, если 1 место занято.

Теперь, чтобы получить общее количество трехместных номеров, нужно сложить результаты из каждого случая:

\(46,620 + 666 + 37 = 47,323\)

Итак, в гостинице имеется всего 47,323 трехместных номеров.