Проанализируйте функцию y=x^2-2 на каждом из указанных промежутков, при условии, что функция обратима на данном

Давайте посмотрим на каждый из указанных промежутков и проанализируем функцию $y=x^2-2$.

a) Для промежутка $R$ (все действительные числа) функция $y=x^2-2$ является обратимой, то есть имеет обратную функцию. Для задания обратной функции, мы можем решить уравнение $y=x^2-2$ относительно переменной $x$. Для этого добавим 2 к обеим сторонам уравнения и получим $y+2=x^2$. Затем применим квадратный корень к обеим сторонам и получим $\sqrt{y+2}=|x|$, где $|\cdot |$ обозначает модуль числа. Также мы можем определить область определения и область значений для данного промежутка. Обратная функция будет выглядеть следующим образом: $x=\pm \sqrt{y+2}$, а область определения для обратной функции будет $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, а область значений будет $[2,+\mathrm{\infty })$.

b) Для промежутка $[1;2)$ функция $y=x^2-2$ также является обратимой. Для задания обратной функции, мы должны решить уравнение $y=x^2-2$ относительно переменной $x$. Добавим 2 к обеим сторонам уравнения и получим $y+2=x^2$. Затем применим квадратный корень к обеим сторонам и получим $\sqrt{y+2}=|x|$. Однако, при решении квадратного уравнения необходимо учитывать знак корня. Для промежутка $[1;2)$ функция будет иметь положительные значения $x$. Таким образом, обратная функция будет выглядеть следующим образом: $x=\sqrt{y+2}$, а область определения и область значений для этого промежутка будут соответственно $[2,+\mathrm{\infty })$ и $[0,+\mathrm{\infty })$.

c) Для промежутка $(-1;5]$ функция $y=x^2-2$ также является обратимой. Проведем те же шаги: решим уравнение $y=x^2-2$ относительно переменной $x$, добавим 2 к обеим сторонам уравнения, получим $y+2=x^2$, применим квадратный корень к обеим сторонам и получим $\sqrt{y+2}=|x|$. Обратная функция будет выглядеть следующим образом: $x=-\sqrt{y+2}$ (для отрицательных значений $x$) или $x=\sqrt{y+2}$ (для положительных значений $x$). Область определения для обратной функции будет $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, а область значений будет $[-2,+\mathrm{\infty })$.

d) На промежутке $[-2;0]$ функция $y=x^2-2$ также является обратимой. Следуя тем же шагам, мы получим обратную функцию в виде $x=-\sqrt{y+2}$, так как функция должна иметь отрицательные значения $x$ на данном промежутке. Область определения для обратной функции будет $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, а область значений будет $[-2,+\mathrm{\infty })$.

Вывод: Для каждого из указанных промежутков функция $y=x^2-2$ является обратимой. Обратные функции определяются следующим образом:
a) $x=\pm \sqrt{y+2}$, область определения: $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, область значений: $[2,+\mathrm{\infty })$
b) $x=\sqrt{y+2}$, область определения: $[1,+\mathrm{\infty })$, область значений: $[0,+\mathrm{\infty })$
c) $x=-\sqrt{y+2}$ (для отрицательных $x$), $x=\sqrt{y+2}$ (для положительных $x$), область определения: $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, область значений: $[-2,+\mathrm{\infty })$
d) $x=-\sqrt{y+2}$, область определения: $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, область значений: $[-2,+\mathrm{\infty })$