Проанализируйте функцию y=x^2-2 на каждом из указанных промежутков, при условии, что функция обратима на данном

Давайте посмотрим на каждый из указанных промежутков и проанализируем функцию \(y=x^2-2\).

a) Для промежутка \(R\) (все действительные числа) функция \(y=x^2-2\) является обратимой, то есть имеет обратную функцию. Для задания обратной функции, мы можем решить уравнение \(y=x^2-2\) относительно переменной \(x\). Для этого добавим 2 к обеим сторонам уравнения и получим \(y+2 = x^2\). Затем применим квадратный корень к обеим сторонам и получим \(\sqrt{y+2} = |x|\), где \(|\cdot|\) обозначает модуль числа. Также мы можем определить область определения и область значений для данного промежутка. Обратная функция будет выглядеть следующим образом: \(x = \pm\sqrt{y+2}\), а область определения для обратной функции будет \((-\infty, +\infty)\), а область значений будет \([2, +\infty)\).

b) Для промежутка \([1; 2)\) функция \(y=x^2-2\) также является обратимой. Для задания обратной функции, мы должны решить уравнение \(y=x^2-2\) относительно переменной \(x\). Добавим 2 к обеим сторонам уравнения и получим \(y+2 = x^2\). Затем применим квадратный корень к обеим сторонам и получим \(\sqrt{y+2} = |x|\). Однако, при решении квадратного уравнения необходимо учитывать знак корня. Для промежутка \([1; 2)\) функция будет иметь положительные значения \(x\). Таким образом, обратная функция будет выглядеть следующим образом: \(x = \sqrt{y+2}\), а область определения и область значений для этого промежутка будут соответственно \([2, +\infty)\) и \([0, +\infty)\).

c) Для промежутка \((-1; 5]\) функция \(y=x^2-2\) также является обратимой. Проведем те же шаги: решим уравнение \(y=x^2-2\) относительно переменной \(x\), добавим 2 к обеим сторонам уравнения, получим \(y+2 = x^2\), применим квадратный корень к обеим сторонам и получим \(\sqrt{y+2} = |x|\). Обратная функция будет выглядеть следующим образом: \(x = -\sqrt{y+2}\) (для отрицательных значений \(x\)) или \(x = \sqrt{y+2}\) (для положительных значений \(x\)). Область определения для обратной функции будет \((-\infty, +\infty)\), а область значений будет \([-2, +\infty)\).

d) На промежутке \([-2; 0]\) функция \(y=x^2-2\) также является обратимой. Следуя тем же шагам, мы получим обратную функцию в виде \(x = -\sqrt{y+2}\), так как функция должна иметь отрицательные значения \(x\) на данном промежутке. Область определения для обратной функции будет \((-\infty, +\infty)\), а область значений будет \([-2, +\infty)\).

Вывод: Для каждого из указанных промежутков функция \(y=x^2-2\) является обратимой. Обратные функции определяются следующим образом:
a) \(x = \pm\sqrt{y+2}\), область определения: \((-\infty, +\infty)\), область значений: \([2, +\infty)\)
b) \(x = \sqrt{y+2}\), область определения: \([1, +\infty)\), область значений: \([0, +\infty)\)
c) \(x = -\sqrt{y+2}\) (для отрицательных \(x\)), \(x = \sqrt{y+2}\) (для положительных \(x\)), область определения: \((-\infty, +\infty)\), область значений: \([-2, +\infty)\)
d) \(x = -\sqrt{y+2}\), область определения: \((-\infty, +\infty)\), область значений: \([-2, +\infty)\)