Сколько существует возможных вариантов расстановки Лены, Маши и остальных четырех девочек в ряду, учитывая следующие

Давайте рассмотрим каждое условие по очереди:

1. Лена или Маша должна быть в конце ряда.

Если Лена стоит в конце ряда, то у нас осталось четыре позиции, которые могут занимать остальные четыре девочки. Они могут быть расставлены между собой \(4!\) способами (4 факториала).

Аналогично, если Маша стоит в конце ряда, то мы также имеем \(4!\) способов расстановки остальных четырех девочек.

Значит, всего у нас есть \(2 \cdot 4!\) возможных вариантов расстановки в случае, когда Лена или Маша находятся в конце ряда.

2. Лена и Маша должны стоять рядом, при этом Лена должна стоять перед Машей.

У нас есть два варианта, как Лена и Маша могут стоять рядом:

а) Лена стоит слева от Маши.
б) Лена стоит справа от Маши.

Рассмотрим первый вариант. Если Лена стоит слева от Маши, то есть две возможные комбинации: ЛМ... и МЛ...

В каждой из этих комбинаций мы можем расставить остальные девочки между собой \(3!\) способами.

Аналогично, если Лена стоит справа от Маши, то также получаем две комбинации: ...МЛ и ...ЛМ.

И в каждой из этих комбинаций мы можем расставить остальные девочки между собой \(3!\) способами.

Таким образом, общее количество вариантов расстановки Лены, Маши и остальных девочек при условии, что Лена и Маша стоят рядом и Лена стоит перед Машей, составляет \(2 \cdot 2 \cdot 3!\) (учитывая оба варианта расположения Лены и Маши, а также количество способов расстановки остальных девочек).

3. Лена или Маша должна быть в начале ряда, а другая должна быть в конце ряда.

Так как у нас две девочки (Лена и Маша), то в каждом из двух случаев они могут быть на начале или на конце ряда.

В случае, когда Лена находится в начале, а Маша в конце, у нас остается две позиции для остальных девочек (\(2!\)).

Аналогично, при Лена в конце, а Маша в начале, также имеем \(2!\) возможных варианта.

Таким образом, общее количество вариантов расстановки Лены, Маши и остальных девочек при условии, что Лена или Маша находится в начале ряда, а другая - в конце, составляет \(2 \cdot 2 \cdot 2!\) (учитывая два варианта расположения Лены и Маши, а также количество способов расстановки остальных девочек).

Чтобы найти общее количество возможных вариантов, нужно сложить результаты всех трех условий:

\(2 \cdot 4! + 2 \cdot 2 \cdot 3! + 2 \cdot 2 \cdot 2!\)

После выполнения всех математических операций, окончательный ответ составит:

\[2 \cdot 4! + 2 \cdot 2 \cdot 3! + 2 \cdot 2 \cdot 2! = (2 \cdot 24) + (2 \cdot 2 \cdot 6) + (2 \cdot 2 \cdot 2) = 48 + 24 + 8 = 80\]

Таким образом, существует 80 возможных вариантов расстановки Лены, Маши и остальных четырех девочек в ряду с учетом данных условий.