Когда каждый автомобиль преодолел половину расстояния до места встречи, водители увеличили скорость в 1,5 раза

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово. Пусть общее расстояние между автомобилями равно D.

Шаг 1: Разобьем путь между автомобилями на две равные половины. Тогда каждая машина проедет расстояние D/2.

Шаг 2: Когда первый автомобиль проедет половину пути, его скорость увеличивается в 1,5 раза. Обозначим исходную скорость первого автомобиля через V. После увеличения в 1,5 раза, его новая скорость составит 1,5V.

Шаг 3: Если общее расстояние между автомобилями пусть стало равным D/2, то первый автомобиль проедет это расстояние со скоростью 1,5V.

Шаг 4: Узнаем время, за которое первый автомобиль проедет расстояние D/2 со скоростью 1,5V. Это можно вычислить, используя формулу времени: время = расстояние / скорость. Запишем это как уравнение 1:
Время1 = (D/2) / (1,5V)

Шаг 5: Мы также знаем, что автомобили встретились на 1 час раньше запланированного времени. Обозначим это время встречи как T.

Шаг 6: Таким образом, второй автомобиль проедет расстояние D/2 со скоростью V в течение времени Т.

Шаг 7: Используем формулу времени еще раз, чтобы выразить это время встречи второго автомобиля. Запишем это как уравнение 2:
Время2 = (D/2) / V

Шаг 8: По условию задачи, автомобили встретились на 1 час раньше запланированного времени, следовательно время1 - время2 = 1.

\[ \frac{D/2} {1,5V} - \frac{D/2}{V} = 1 \]

Шаг 9: Избавимся от дробей, умножив оба выражения на 2 и на 1,5V:
\[ 2 \cdot \frac{D}{2} \cdot \frac{1}{1,5V} - 2 \cdot \frac{D}{2} \cdot \frac{1}{V} = 2 \cdot 1 \]

\[ D \cdot \frac{1}{1,5} - D \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

Шаг 10: Выразим D:
\[ \frac{D}{1,5} - \frac{D}{2} = 2 \]

\[ \frac{2}{2} \cdot \frac{D}{1,5} - \frac{1,5}{2} \cdot \frac{D}{1,5} = 2 \]

\[ \frac{4}{6} \cdot D - \frac{3}{6} \cdot D = 2 \]

\[ \frac{1}{6} \cdot D = 2 \]

\[ D = 12 \]

Шаг 11: Мы найдем общее время путешествия, сложив время1 и время2:
Общее время = Время1 + Время2 = (D/2) / (1,5V) + (D/2) / V

Подставим найденное значение D:
Общее время = (12/2) / (1,5V) + (12/2) / V

Общее время = 6 / (1,5V) + 6 / V

Шаг 12: Теперь мы знаем, что общее время на пути было меньше на 1 час, поэтому:
Общее время - 1 = 6 / (1,5V) + 6 / V - 1

\[ 6 / (1,5V) + 6 / V - 1 = 5,5 \]

Шаг 13: Найдем значение V:
Решим уравнение:
\[ \frac{6}{1.5V} + \frac{6}{V} - 1 = \frac{11}{2} \]

\[ \frac{4}{3V} + \frac{6}{V} - 1 = \frac{11}{2} \]

\[ \frac{4}{3V} + \frac{6}{V} = \frac{15}{2} \]

\[ 8V + 18 = 45 \]

\[ 8V = 27 \]

\[ V = \frac{27}{8} \]

Шаг 14: Теперь, чтобы узнать время встречи, подставим найденное значение V в уравнение Время1:
Время1 = (D/2) / (1,5V)

\[ Время1 = \frac{12/2}{1.5 * 27/8} \]

\[ Время1 = \frac{24}{27} \cdot \frac{8}{3} \]

\[ Время1 = \frac{64}{9} \]

Шаг 15: Таким образом, общее время, прошедшее после выезда, когда они встретились, равно Время1 + T, где T - запланированное время встречи.
\[ Время_{общее} = \frac{64}{9} + T \]

Это и есть ответ на задачу. Прошло \(\frac{64}{9}\) времени после выезда, когда они встретились.