Сколько существует различных способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки из 12 мальчиков и 5 девочек, чтобы организовать

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться комбинаторикой и использовать формулу для нахождения количества сочетаний.

Для определения количества способов выбрать 4 мальчика из 12 мальчиков, мы можем использовать сочетания из 12 по 4, обозначаемое как \(C(12,4)\). Формула для нахождения количества сочетаний задается следующей формулой:

\[C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы планируем выбрать, и ! обозначает факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа).

Теперь мы можем использовать эту формулу для нахождения количества способов выбрать 4 мальчика из 12 мальчиков:

\[C(12,4) = \frac{{12!}}{{4!(12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4!8!}}\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[C(12,4) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}{{4 \cdot3 \cdot 2 \cdot 1}} = 495\]

То есть, есть 495 различных способов выбрать 4 мальчика из 12 мальчиков.

По аналогии, чтобы выбрать 2 девочки из 5 девочек, мы можем использовать сочетания из 5 по 2, обозначаемое как \(C(5,2)\). Применяя формулу для нахождения количества сочетаний, мы получаем:

\[C(5,2) = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2!3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\]

То есть, есть 10 различных способов выбрать 2 девочки из 5 девочек.

Так как мы ищем способы выбрать 4 мальчика и 2 девочки, мы можем использовать правило умножения. То есть, чтобы найти общее количество способов, мы умножаем количество способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки:

Общее количество способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки: \(495 \cdot 10 = 4950\)

Итак, существует 4950 различных способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки из 12 мальчиков и 5 девочек для организации школьного турнира.