Сколько существует путей, чтобы конь обошёл все клетки доски размером 4×4, пройдя каждую клетку только один

Давайте разберем эту задачу о ходе коня на доске размером 4×4.

Исходя из условия задачи, у нас имеется доска размером 4×4, из которой удалены 4 угловые клетки. Нам нужно найти количество путей, которыми конь может обойти все оставшиеся клетки, вернувшись в начальную клетку.

Для решения этой задачи воспользуемся графовой моделью. Мы поместим каждую клетку нашей доски в вершину графа. Затем соединим эти вершины ребрами, представляющими возможные ходы коня.

Определим все возможные ходы коня. Мы знаем, что конь может сделать ходы в любом направлении на две клетки вперед и одну вбок, или на две клетки вбок и одну вперед. Исключим из рассмотрения угловые клетки, так как они отсутствуют на нашей доске.

Таким образом, у нас есть следующие возможные ходы коня:

1. Вариант 1: две клетки вперед и одна вбок
2. Вариант 2: две клетки вбок и одна вперед

Теперь давайте построим графическую модель этой задачи.

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& A & B & C \\
D & & & \\
E & & & \\
F & & & \\
\end{{array}}
\]

Каждая клетка на доске соответствует вершинам графа, а ребра будут представлять возможные ходы коня.

Теперь нарисуем ребра графа, учитывая возможные ходы коня.

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& A & B & C \\
D & \uparrow & \rightarrow & \uparrow \\
E & \leftarrow & & \rightarrow \\
F & \downarrow & \leftarrow & \downarrow \\
\end{{array}}
\]

Теперь, чтобы конь мог обойти каждую клетку только один раз и вернуться в начальную клетку, нам нужно найти все пути из начальной клетки (скажем, B) обратно в начальную.

Для нахождения числа таких путей мы можем воспользоваться различными алгоритмами, такими как алгоритм обхода графа в глубину (DFS) или алгоритм поиска в ширину (BFS).

В данном конкретном случае мы можем воспользоваться алгоритмом DFS. Начинаем с клетки B и продолжаем идти в одном из возможных направлений, пока не посетим все клетки и не вернемся обратно в клетку B.

Следующий графический пример показывает различные пути, которые мы можем пройти при использовании алгоритма DFS:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& A & B & C \\
D & \uparrow & \rightarrow & \uparrow \\
E & \leftarrow & \uparrow & \rightarrow \\
F & \downarrow & \leftarrow & \downarrow \\
\end{{array}}
\]

Видим, что есть несколько путей, которыми конь может обойти все клетки и вернуться в начальную:

1. B → C → E → D → B
2. B → C → E → F → B
3. B → D → E → C → B
4. B → D → E → F → B
5. B → F → E → C → B
6. B → F → E → D → B

Таким образом, всего существует 6 различных путей, по которым конь может обойти все клетки и вернуться в начальную.

На этом наше решение задачи завершено. Мы использовали графовую модель и алгоритм DFS для нахождения всех возможных путей.