1. Какова площадь боковой поверхности пирамиды, если у основания квадрат со стороной 4 см, а высота равна 3

1. Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нам необходимо вычислить площадь каждой боковой грани и затем их сложить.

У нас есть пирамида с квадратным основанием со стороной 4 см и высотой 3 см.
Площадь боковой поверхности каждой грани пирамиды равна произведению длины основания на полупериметр этой грани.

Полупериметр грани можно найти, разделив периметр грани на 2.
Периметр квадрата вычисляется по формуле: \(P = 4 \times \text{сторона}\).
Таким образом, периметр грани равен \(4 \times 4 = 16\) см.

Теперь у нас есть значение полупериметра грани, которое равно \(\frac{16}{2} = 8\) см.
Умножим это значение на высоту пирамиды, то есть на 3 см:
Площадь каждой грани будет равна \(8 \times 3 = 24\) см².

Так как у пирамиды 4 боковые грани, то площадь боковой поверхности всей пирамиды будет равна
\(4 \times 24 = 96\) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 96 см².

2. Для нахождения апофемы пирамиды, бокового ребра, площади боковой поверхности и тангенса угла наклона бокового ребра к плоскости основания в правильной треугольной пирамиде, нам понадобятся следующие шаги.

Пусть сторона основания пирамиды равна \(AB = a\) и высота пирамиды равна \(DO = h\).

1) Апофема пирамиды (расстояние от вершины до центра основания):

Апофема пирамиды вычисляется по формуле:
\[ap = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2},\]
где \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - длина стороны основания.

2) Боковое ребро пирамиды:

Боковое ребро пирамиды можно вычислить, используя апофему пирамиды и половину длины стороны основания:
\[l = \sqrt{ap^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2},\]
где \(ap\) - апофема пирамиды, \(a\) - длина стороны основания.

3) Площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
\[S_{\text{пов}}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{боковая высота},\]
где периметр основания равен тройному произведению длины стороны основания. В правильной треугольной пирамиде, каждая сторона основания равна \(a\). Боковая высота равна \(h\).

4) Тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания:

Тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен отношению боковой высоты к половине длины стороны основания:
\[\text{тангенс угла наклона} = \frac{h}{\frac{a}{2}}.\]

Также, чтобы найти угол между \(AB\) и \(CD\), можно использовать формулу:
\[\text{угол} = \arctan\left(\frac{h}{\frac{a}{2}}\right).\]

5) Построение общего перпендикуляра к прямым \(AB\) и \(CD\) :

Чтобы построить общий перпендикуляр к прямым \(AB\) и \(CD\), необходимо провести прямую, проходящую через середины отрезков \(AD\) и \(BC\) (пусть эта прямая будет называться \(EF\)). Эта прямая будет перпендикулярна прямым \(AB\) и \(CD\), так как соединяет середины параллельных сторон прямоугольников \(ABCD\).

3. Для нахождения длины ребра правильного тетраэдра вам необходимо знать значение расстояния между противоположными ребрами. Пожалуйста, предоставьте это значение.