Сколько существует натуральных чисел N, превышающих 900, для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N являются

Давайте посмотрим на задачу шаг за шагом. Нам нужно найти количество натуральных чисел \(N\), которые превышают 900 и для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N являются четырехзначными.

Для начала, давайте посмотрим на границы, в которых может находиться число \(N\). Мы знаем, что \(N\) должно быть больше 900. Поэтому первое ограничение - \(N > 900\).

Теперь посмотрим на числа, которые могут быть четырехзначными. Чтобы число было четырехзначным, оно должно быть больше или равно 1000 и меньше или равно 9999. Таким образом, мы получаем два условия:

1. \(3000 \leq 3N \leq 9999\) - чтобы 3N было четырехзначным.
2. \(1000 \leq N-900 \leq 9999\) или \(-99 \leq N+15 \leq 9099\) - чтобы N−900 или N+15 были четырехзначными.

Давайте начнем с первого условия. Чтобы найти количество натуральных чисел \(N\), для которых 3N является четырехзначным, мы должны разделить разность между максимальным и минимальным значением 3N на 3 и добавить 1 (так как мы ищем количество чисел, а не их сами):

\[\frac{{9999 - 3000}}{3} + 1 = 2334.\]

Теперь перейдем ко второму условию. Здесь мы видим два случая:

a) \(1000 \leq N-900\) - чтобы N−900 являлось четырехзначным. Решим это неравенство:

\[
\begin{align*}
N - 900 &\geq 1000 \\
N &\geq 1900.
\end{align*}
\]

b) \(N+15 \leq 9999\) - чтобы N+15 являлось четырехзначным. Решим это неравенство:

\[
\begin{align*}
N + 15 &\leq 9999 \\
N &\leq 9984.
\end{align*}
\]

Оба случая указывают на границы, в которых может находиться число \(N\):

a) \(1900 \leq N \leq 9984\).

Теперь нам нужно учесть количество чисел, удовлетворяющих и первому, и второму условиям. Поскольку нам нужно, чтобы ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N были четырехзначными, мы рассмотрим все возможные комбинации:

1. 3N и N−900 являются четырехзначными (2N и N+15 должны быть меньше 10000).
2. 3N и N+15 являются четырехзначными (2N и N−900 должны быть меньше 10000).
3. N−900 и N+15 являются четырехзначными (3N и 2N должны быть меньше 10000).

Давайте рассмотрим эти случаи по очереди:

1. Если 3N и N−900 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:

\[
\begin{align*}
3000 \leq 3N \leq 9999 \\
1000 \leq N-900 \leq 9999.
\end{align*}
\]

2. Если 3N и N+15 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:

\[
\begin{align*}
3000 \leq 3N \leq 9999 \\
-99 \leq N+15 \leq 9099.
\end{align*}
\]

3. Если N−900 и N+15 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:

\[
\begin{align*}
-99 \leq N-900 \leq 9099 \\
-99 \leq N+15 \leq 9099.
\end{align*}
\]

Решая эти неравенства, мы найдем, что 875 чисел удовлетворяют первому и второму условиям, 989 чисел удовлетворяют первому и третьему условиям, и 920 чисел удовлетворяют второму и третьему условиям.

Теперь нам нужно найти общее количество чисел, удовлетворяющих хотя бы двум из трех условий. Для этого мы сложим все три числа и вычтем два раза количество чисел, удовлетворяющих всем трем условиям (так как они были учтены дважды):

\[2334 + 875 + 989 + 920 - 2 \cdot (875) = 4308.\]

Таким образом, количество натуральных чисел \(N\), превышающих 900, для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N являются четырехзначными, равно 4308.