Сколько существует натуральных чисел N, превышающих 900, для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N являются четырехзначными?
Магнитный_Марсианин
Давайте посмотрим на задачу шаг за шагом. Нам нужно найти количество натуральных чисел , которые превышают 900 и для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N являются четырехзначными.
Для начала, давайте посмотрим на границы, в которых может находиться число . Мы знаем, что должно быть больше 900. Поэтому первое ограничение - .
Теперь посмотрим на числа, которые могут быть четырехзначными. Чтобы число было четырехзначным, оно должно быть больше или равно 1000 и меньше или равно 9999. Таким образом, мы получаем два условия:
1. - чтобы 3N было четырехзначным.
2. или - чтобы N−900 или N+15 были четырехзначными.
Давайте начнем с первого условия. Чтобы найти количество натуральных чисел , для которых 3N является четырехзначным, мы должны разделить разность между максимальным и минимальным значением 3N на 3 и добавить 1 (так как мы ищем количество чисел, а не их сами):
Теперь перейдем ко второму условию. Здесь мы видим два случая:
a) - чтобы N−900 являлось четырехзначным. Решим это неравенство:
b) - чтобы N+15 являлось четырехзначным. Решим это неравенство:
Оба случая указывают на границы, в которых может находиться число :
a) .
Теперь нам нужно учесть количество чисел, удовлетворяющих и первому, и второму условиям. Поскольку нам нужно, чтобы ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N были четырехзначными, мы рассмотрим все возможные комбинации:
1. 3N и N−900 являются четырехзначными (2N и N+15 должны быть меньше 10000).
2. 3N и N+15 являются четырехзначными (2N и N−900 должны быть меньше 10000).
3. N−900 и N+15 являются четырехзначными (3N и 2N должны быть меньше 10000).
Давайте рассмотрим эти случаи по очереди:
1. Если 3N и N−900 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:
2. Если 3N и N+15 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:
3. Если N−900 и N+15 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:
Решая эти неравенства, мы найдем, что 875 чисел удовлетворяют первому и второму условиям, 989 чисел удовлетворяют первому и третьему условиям, и 920 чисел удовлетворяют второму и третьему условиям.
Теперь нам нужно найти общее количество чисел, удовлетворяющих хотя бы двум из трех условий. Для этого мы сложим все три числа и вычтем два раза количество чисел, удовлетворяющих всем трем условиям (так как они были учтены дважды):
Таким образом, количество натуральных чисел , превышающих 900, для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N являются четырехзначными, равно 4308.
Для начала, давайте посмотрим на границы, в которых может находиться число
Теперь посмотрим на числа, которые могут быть четырехзначными. Чтобы число было четырехзначным, оно должно быть больше или равно 1000 и меньше или равно 9999. Таким образом, мы получаем два условия:
1.
2.
Давайте начнем с первого условия. Чтобы найти количество натуральных чисел
Теперь перейдем ко второму условию. Здесь мы видим два случая:
a)
b)
Оба случая указывают на границы, в которых может находиться число
a)
Теперь нам нужно учесть количество чисел, удовлетворяющих и первому, и второму условиям. Поскольку нам нужно, чтобы ровно два из чисел 3N, N−900, N+15, 2N были четырехзначными, мы рассмотрим все возможные комбинации:
1. 3N и N−900 являются четырехзначными (2N и N+15 должны быть меньше 10000).
2. 3N и N+15 являются четырехзначными (2N и N−900 должны быть меньше 10000).
3. N−900 и N+15 являются четырехзначными (3N и 2N должны быть меньше 10000).
Давайте рассмотрим эти случаи по очереди:
1. Если 3N и N−900 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:
2. Если 3N и N+15 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:
3. Если N−900 и N+15 являются четырехзначными, то получим следующие неравенства:
Решая эти неравенства, мы найдем, что 875 чисел удовлетворяют первому и второму условиям, 989 чисел удовлетворяют первому и третьему условиям, и 920 чисел удовлетворяют второму и третьему условиям.
Теперь нам нужно найти общее количество чисел, удовлетворяющих хотя бы двум из трех условий. Для этого мы сложим все три числа и вычтем два раза количество чисел, удовлетворяющих всем трем условиям (так как они были учтены дважды):
Таким образом, количество натуральных чисел
Знаешь ответ?