Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если известно, что один из них меньше другого на 2 см, а площадь

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для площади и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Пусть один из катетов равен \(x\) см. Тогда второй катет будет равен \(x + 2\) см.

Площадь прямоугольного треугольника определяется формулой:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставляем известные значения в формулу площади:

\[17.5 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2).\]

Упрощаем выражение:

\[17.5 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + x.\]

Переносим все слагаемые влево:

\[0.5 \cdot x^2 + x - 17.5 = 0.\]

Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Решим его, используя, например, квадратное уравнение, факторизацию или дискриминант:

\[0.5 \cdot x^2 + x - 17.5 = 0.\]

Используем дискриминант \(D\) для нахождения корней уравнения:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot (-17.5) = 1 + 35 = 36.\]

Так как дискриминант равен 36, у нас есть два вещественных корня:

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = -1 - \sqrt{36} = -1 - 6 = -7,\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = -1 + \sqrt{36} = -1 + 6 = 5.\]

Так как длины не могут быть отрицательными, отбрасываем решение \(x_1 = -7\).

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника будут следующими:

Один катет: \(x = 5\) см,
Второй катет: \(x + 2 = 5 + 2 = 7\) см.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 см и 7 см соответственно.