Сколько существует натуральных чисел N, превышающих 700, при которых ровно два числа 3N, N−700, N+35, 2N являются

Давайте решим данную задачу по шагам:

Пусть число N превышает 700. Мы знаем, что числа 3N, N−700, N+35 и 2N должны быть четырехзначными.

Чтобы число 3N было четырехзначным, нам нужно, чтобы N было тризначным числом. Поскольку N > 700, оно должно иметь три цифры и начинаться с цифры от 7 до 9.

Теперь рассмотрим число N−700. Оно также должно быть четырехзначным. Это означает, что N должно быть пятизначным числом (начиная с 1701), так как вычитание 700 из трехзначного числа не даст нам четырехзначного числа.

Однако, если N было бы пятизначным числом, то число N−700 дало бы нам шестизначное число, что не подходит по условию задачи. Значит, число N не может быть пятизначным и число N−700 не может быть четырехзначным.

Теперь рассмотрим число N+35. Мы уже знаем, что N должно быть трехзначным числом. Если N+35 должно быть четырехзначным числом, то N должно быть трехзначным числом, у которого последняя цифра должна быть 6, 7, 8 или 9. Таким образом, число N может быть только 106, 107, 108 или 109. Подставляя эти значения, мы можем найти существующие числа, удовлетворяющие условию задачи.

Давайте теперь найдем эти числа:

Для N = 106, мы получаем 3N = 318, N−700 = -594, N+35 = 141 и 2N = 212.

Для N = 107, мы получаем 3N = 321, N−700 = -593, N+35 = 142 и 2N = 214.

Для N = 108, мы получаем 3N = 324, N−700 = -592, N+35 = 143 и 2N = 216.

Для N = 109, мы получаем 3N = 327, N−700 = -591, N+35 = 144 и 2N = 218.

Таким образом, существует 4 натуральных числа N, превышающих 700, при которых ровно два числа 3N, N−700, N+35 и 2N являются четырехзначными. Эти числа: 106, 107, 108 и 109.