Сколько существует 3-элементных подмножеств множества {1,2,…,11,20}, которые не содержат двух чисел, идущих друг

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться методом перебора, где будем последовательно рассматривать все возможные комбинации 3-элементных подмножеств множества {1,2,…,11,20} и проверять, удовлетворяют ли они условию задачи.

Чтобы понять, какие подмножества не содержат двух чисел, идущих друг за другом, рассмотрим возможные случаи:

1. Подмножество содержит только числа, не входящие в последовательность. В этом случае мы можем выбрать 3 числа из 9 доступных чисел (поскольку в множестве {1,2,…,11,20} есть 11 чисел, а два числа (12 и 13) идут друг за другом). Количество таких подмножеств будет равно \(\binom{9}{3}\).

2. Подмножество содержит только числа из последовательности, но так, чтобы между ними были неиспользуемые числа. В этом случае мы можем выбрать 3 числа из 10 доступных чисел (поскольку два числа (12 и 13) не могут использоваться). Количество таких подмножеств будет равно \(\binom{10}{3}\).

3. Подмножество содержит одно число из последовательности и два числа, не входящих в последовательность. В этом случае мы можем выбрать одно число из 11 доступных чисел (поскольку в множестве {1,2,…,11,20} есть 11 чисел), а оставшиеся два числа - из 9 доступных чисел (поскольку два числа (12 и 13) не могут использоваться). Количество таких подмножеств будет равно \(11 \cdot \binom{9}{2}\).

Таким образом, общее количество 3-элементных подмножеств множества {1,2,…,11,20}, которые не содержат двух чисел, идущих друг за другом, будет равно сумме количества подмножеств из каждого из трех случаев:

\[ \binom{9}{3} + \binom{10}{3} + 11 \cdot \binom{9}{2} \]