Синус угла C в треугольнике АВС равен 5/6, а сторона АВ равна 30 см. С использованием теоремы синусов, определите

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и соответствующими им углами. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\) и \(C\) - противолежащие углы.

В данной задаче, у нас дано значение синуса угла \(C\) равное \(\frac{5}{6}\) и длина стороны \(AB\) равная 30 см.

Для определения радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, нам понадобится длина любой стороны треугольника. Можно выбрать сторону \(AC\) или \(BC\).

Предлагаю воспользоваться соотношением между стороной и противолежащим углом, чтобы найти длину стороны \(AC\):

\[\frac{AC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin B}\]

Так как у нас уже даны длина стороны \(AB\) и значение синуса угла \(C\), подставим известные значения:

\[\frac{AC}{\frac{5}{6}} = \frac{30}{\sin B}\]

Далее, из теоремы синусов можно выразить \(\sin B\):

\[\sin B = \frac{AB}{AC} \cdot \sin C\]

Подставляем известные значения:

\[\sin B = \frac{30}{AC} \cdot \frac{5}{6}\]

Теперь у нас есть уравнение для нахождения синуса угла \(B\). Но мы также можем воспользоваться фактом, что сумма всех трех углов треугольника равна 180 градусов:

\[A + B + C = 180^{\circ}\]

Так как угол \(C\) и его синус даны, мы можем найти угол \(B\):

\(B = 180^{\circ} - A - C\)

Теперь, подставив выражение для угла \(B\) в уравнение для синуса угла \(B\), получим:

\[\sin (180^{\circ} - A - C) = \frac{30}{AC} \cdot \frac{5}{6}\]

\[\sin (A + C) = \frac{30}{AC} \cdot \frac{5}{6}\]

Так как у нас дано значение синуса угла \(C\), можем упростить:

\[\sin A = \frac{30}{AC} \cdot \frac{5}{6}\]

Теперь, воспользовавшись полученным уравнением для синуса угла \(A\), можем приступить к нахождению длины стороны \(AC\):

\[\frac{AC}{\sin A} = \frac{30}{\frac{30}{AC} \cdot \frac{5}{6}}\]

Отсюда получаем:

\[\frac{AC}{\sin A} = \frac{6}{5}\]

\[\frac{AC}{\frac{30}{AC} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{6}{5}\]

\[\frac{AC^2}{30\cdot5/6} = \frac{6}{5}\]

\[AC^2 = 30\cdot5/6 \cdot \frac{6}{5}\]

\[AC^2 = 30\]

\[AC = \sqrt{30}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC\), равен \(\sqrt{30}\) см.

Правильный вариант ответа: а) 9 см.