Сколько стозначных натуральных чисел существует, в которых каждая цифра, за исключением крайних, является результатом

Данная задача требует некоторого анализа и систематического подхода для получения точного ответа. Давайте разберем ее пошагово.

Пусть дано стозначное натуральное число, которое мы хотим построить. Первым шагом определим, какие цифры могут быть у крайних чисел, то есть первой и последней цифры в числе.

Рассмотрим первую цифру. Она может быть любой от 1 до 9, так как при умножении двух смежных цифр мы не можем получить ноль.

Теперь рассмотрим вторую цифру. Она также может быть любой от 1 до 9, поскольку умножение смежных цифр не может дать ноль. Таким образом, у нас есть 9 возможностей для выбора второй цифры.

Затем рассмотрим третью цифру. Она должна быть равна произведению первой и второй цифр. Допустим, что первая цифра равна \(a\) и вторая цифра равна \(b\). Тогда третья цифра будет равна \(ab\). Например, если \(a = 2\) и \(b = 3\), то третья цифра будет равна 6.

Таким образом, мы можем выбрать любую из 9 цифр в качестве первой цифры, затем любую из 9 цифр в качестве второй цифры, и далее произведение первой и второй цифры будет третьей цифрой.

Продолжая этот процесс для оставшихся цифр, мы можем утверждать, что каждая цифра в числе будет являться результатом умножения двух смежных цифр.

Таким образом, мы можем сделать следующий вывод: в каждой позиции от второй до предпоследней мы можем выбрать любую из 9 цифр в качестве значения, так как каждая цифра будет представлять собой результат умножения двух смежных цифр.

Итак, для каждой позиции от второй до предпоследней позиции у нас есть 9 возможных значений. Это означает, что всего у нас есть \[9^{98}\] стозначных натуральных чисел, в которых каждая цифра, за исключением крайних, является результатом умножения двух смежных цифр.

Однако в этом ответе мы не включаем ноль, так как мы не можем его получить при умножении смежных цифр. Поэтому общее количество стозначных натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи, будет \[9^{98}\].