Сколько стоит 1 карандаш и 1 ручка, если 5 карандашей и 3 ручки вместе стоят 109 рублей, а ручка стоит на 23 рубля

Давайте решим данную задачу с помощью системы уравнений. Пусть \(х\) - цена карандаша в рублях, а \(у\) - цена ручки в рублях.

Из условия задачи у нас имеются следующие данные:
1) 5 карандашей и 3 ручки вместе стоят 109 рублей. Это можно записать уравнением:
\[5x + 3y = 109\]
2) Ручка стоит на 23 рубля дороже карандаша. Это можно записать уравнением:
\[y = x + 23\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее. Для этого приведем второе уравнение к форме, удобной для подстановки:
\[y - x = 23\]

Теперь подставим в первое уравнение выражение для \(y\) из второго уравнения:
\[5x + 3(y - x) = 109\]
Раскроем скобки:
\[5x + 3y - 3x = 109\]
Сгруппируем однонаковые члены:
\[2x + 3y = 109\]

Теперь у нас осталась система из двух уравнений:
\[\begin{cases}
5x + 3y = 109 \\
2x + 3y = 109
\end{cases}\]

Решим эту систему уравнений методом вычитания. Вычтем из второго уравнения первое:
\[(2x + 3y) - (5x + 3y) = 109 - 109\]
Сократим однонаковые члены:
\[-3x = 0\]
Поделим обе части уравнения на \(-3\):
\[x = 0\]

Теперь найдем значение \(у\), подставив \(x = 0\) в любое из уравнений. Возьмем первое:
\[5 \cdot 0 + 3y = 109\]
Упростим:
\[3y = 109\]
Разделим обе части уравнения на 3:
\[y = \frac{109}{3}\]

Таким образом, мы получили, что карандаш стоит 0 рублей, а ручка стоит приблизительно \(36.33\) рублей.

Ответ: 1 карандаш стоит 0 рублей, а 1 ручка стоит примерно 36.33 рублей.