Сколько станций пересадки необходимо построить для метро в городе, при условии что в нем будет 102 линии и любые

Для решения данной задачи, нам понадобится найти общее количество возможных пересадочных станций.

Для начала, рассмотрим каждую линию метро. Если в городе есть 102 линии, то каждая из них должна пересекаться с другими линиями на одной пересадочной станции. Таким образом, каждая линия будет иметь возможность пересечься с другими 101 линией.

Теперь, чтобы найти общее количество возможных пересадочных станций, мы можем использовать сочетания. Число сочетаний \(C(n, k)\) представляет собой количество способов выбрать k элементов из n. В данной задаче, когда у нас есть 102 линии метро и каждая из них должна пересекаться с другими 101 линией, нам нужно найти \(C(102, 2)\).

Подставляем значения в формулу для чисел сочетаний:

\[C(102, 2) = \frac{102!}{2!(102-2)!}\]

Сокращаем факториалы:

\[C(102, 2) = \frac{102!}{2! \cdot 100!}\]

Вычисляем значения факториалов:

\[C(102, 2) = \frac{102 \cdot 101 \cdot 100!}{2! \cdot 100!}\]

Сокращаем факториалы и упрощаем выражение:

\[C(102, 2) = \frac{102 \cdot 101}{2}\]

Вычисляем:

\[C(102, 2) = 5151\]

Таким образом, общее количество возможных пересадочных станций будет равно 5151.

Далее, у нас требуется, чтобы только одна станция пересекалась сразу с тремя линиями. Мы можем найти это количество с помощью сочетания \(C(102, 3)\).

\[C(102, 3) = \frac{102!}{3!(102-3)!}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[C(102, 3) = \frac{102 \cdot 101 \cdot 100}{3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Вычисляем:

\[C(102, 3) = 171700\]

Таким образом, существует 171700 комбинаций, в которых ровно одна станция пересекается с тремя линиями.

Итак, для того чтобы удовлетворить условиям задачи и иметь ровно одну станцию с тремя пересекающимися линиями, а также чтобы каждая из 102 линий пересекалась с другими 101 линией на одной станции, мы должны построить общее количество пересадочных станций, равное 5151.