Сколько способов тренер может выбрать 2 юношей и 2 девушек из 15 юношей и 12 девушек для участия в смешанной эстафете?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу сочетаний.

Для выбора 2 юношей из 15, мы используем сочетание C(15, 2), где 15 - общее количество юношей, а 2 - количество, которое мы выбираем. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где n! - факториал числа n.

Мы делаем то же самое для выбора 2 девушек из 12, используя сочетание C(12, 2).

Таким образом, количество способов, которыми тренер может выбрать 2 юношей и 2 девушек из 15 юношей и 12 девушек, равно произведению этих двух сочетаний:

\[
C(15, 2) \cdot C(12, 2) = \frac{{15!}}{{2! \cdot (15-2)!}} \cdot \frac{{12!}}{{2! \cdot (12-2)!}}
\]

Вычислим значение:

\[
\frac{{15!}}{{2! \cdot (15-2)!}} \cdot \frac{{12!}}{{2! \cdot (12-2)!}} = \frac{{15!}}{{2! \cdot 13!}} \cdot \frac{{12!}}{{2! \cdot 10!}} = \frac{{15! \cdot 12!}}{{2! \cdot 2! \cdot 13! \cdot 10!}}
\]

Теперь можно сократить факториалы:

\[
\frac{{15! \cdot 12!}}{{2! \cdot 2! \cdot 13! \cdot 10!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13! \cdot 12!}}{{2! \cdot 2! \cdot 13 \cdot 12! \cdot 10!}}
\]

Также, можно сократить числа:

\[
\frac{{15 \cdot 14 \cdot 13! \cdot 12!}}{{2! \cdot 2! \cdot 13 \cdot 12! \cdot 10!}} = \frac{{15 \cdot 14}}{{2 \cdot 2 \cdot 10!}}
\]

Остается упростить выражение:

\[
\frac{{15 \cdot 14}}{{2 \cdot 2 \cdot 10!}} = \frac{{15 \cdot 14}}{{4 \cdot 10!}}
\]

Вычислим значение:

\[
\frac{{15 \cdot 14}}{{4 \cdot 10!}} = \frac{{210}}{{4 \cdot 10!}} = \frac{{210}}{{4 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

Выполним вычисления:

\[
\frac{{210}}{{4 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{210}}{{24 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}}
\]

Теперь можно сократить числа:

\[
\frac{{210}}{{24 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}} = \frac{{210}}{{24 \cdot 10!}}
\]

Последнее, упрощаем выражение:

\[
\frac{{210}}{{24 \cdot 10!}} = \frac{{35}}{{4 \cdot 10!}} = \frac{{35}}{{2 \cdot 5 \cdot 10!}}
\]

Таким образом, ответ на задачу составляет \(\frac{{35}}{{2 \cdot 5 \cdot 10!}}\) или просто \( \frac{{35}}{{10!}} \)