Сколько способов распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по одному часовому на семи этажах здания, с условием

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать метод комбинаторики, а именно комбинации с повторением.

В данном случае, нам нужно распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по 7 этажам, при условии, что на первом и последнем этажах должны быть сержанты.

Мы можем рассмотреть два случая:
1. Случай, когда на первом и последнем этажах будут только сержанты.
2. Случай, когда на первом и последнем этажах будут сержанты и рядовые солдаты.

Первый случай:
На первом и последнем этажах должны быть сержанты, поэтому каждый из них занимает по одному месту. У нас остается 5 сержантов и 8 рядовых солдат для распределения по 5 этажам (2-6 этажи). Мы можем решать этот случай с помощью формулы комбинаций с повторениями.

Формула комбинаций с повторениями имеет вид:
$$C_{n+m-1}^n=\frac{(n+m-1)!}{n!(m-1)!}$$

Где n - количество разных объектов (сержанты), m - количество ячеек (этажей).

Применяя формулу, получим:
$$C_{5+5-1}^5=\frac{9!}{5!\cdot 4!}=126$$

Таким образом, в первом случае у нас есть 126 способов распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по этажам, если на первом и последнем этажах должны быть сержанты.

Теперь рассмотрим второй случай:
На первом и последнем этажах должны быть сержанты, но также может быть и рядовые солдаты. В этом случае, на первом и последнем этажах могут находиться по любому количеству объектов от 1 до 5. Нам нужно учесть все возможные комбинации.

Для этого мы можем применить принцип умножения.

Количество способов распределить сержантов на первом и последнем этажах будет равно:
$$C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=5+10+10+5+1=31$$

В каждой из этих комбинаций на оставшихся 5 этажах нужно разместить 8 рядовых солдат. Как мы уже рассчитали в первом случае, это можно сделать $C_{5+5-1}^5=126$ способами.

Применяя принцип умножения, получим общее количество возможных способов:
$$31\cdot 126=3906$$

Таким образом, есть 3906 способов распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по часовому на 7 этажах здания, при условии, что на первом и последнем этажах должны быть сержанты.