Сколько способов распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по одному часовому на семи этажах здания, с условием

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать метод комбинаторики, а именно комбинации с повторением.

В данном случае, нам нужно распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по 7 этажам, при условии, что на первом и последнем этажах должны быть сержанты.

Мы можем рассмотреть два случая:
1. Случай, когда на первом и последнем этажах будут только сержанты.
2. Случай, когда на первом и последнем этажах будут сержанты и рядовые солдаты.

Первый случай:
На первом и последнем этажах должны быть сержанты, поэтому каждый из них занимает по одному месту. У нас остается 5 сержантов и 8 рядовых солдат для распределения по 5 этажам (2-6 этажи). Мы можем решать этот случай с помощью формулы комбинаций с повторениями.

Формула комбинаций с повторениями имеет вид:
\[
C_{n + m - 1}^{n} = \frac{(n + m - 1)!}{n!(m - 1)!}
\]

Где n - количество разных объектов (сержанты), m - количество ячеек (этажей).

Применяя формулу, получим:
\[
C_{5 + 5 - 1}^{5} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = 126
\]

Таким образом, в первом случае у нас есть 126 способов распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по этажам, если на первом и последнем этажах должны быть сержанты.

Теперь рассмотрим второй случай:
На первом и последнем этажах должны быть сержанты, но также может быть и рядовые солдаты. В этом случае, на первом и последнем этажах могут находиться по любому количеству объектов от 1 до 5. Нам нужно учесть все возможные комбинации.

Для этого мы можем применить принцип умножения.

Количество способов распределить сержантов на первом и последнем этажах будет равно:
\[
C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
\]

В каждой из этих комбинаций на оставшихся 5 этажах нужно разместить 8 рядовых солдат. Как мы уже рассчитали в первом случае, это можно сделать \(C_{5 + 5 - 1}^{5} = 126\) способами.

Применяя принцип умножения, получим общее количество возможных способов:
\[
31 \cdot 126 = 3906
\]

Таким образом, есть 3906 способов распределить 5 сержантов и 8 рядовых солдат по часовому на 7 этажах здания, при условии, что на первом и последнем этажах должны быть сержанты.