Сколько различных вариантов башен из десяти этажей можно построить, если на каждом следующем этаже можно ставить либо

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим каждый этаж башни по отдельности. Представим, что на каждом этаже мы можем поставить от 0 до 10 кубиков, включая 0 (это будет означать, что мы не будем строить этот этаж).

Давайте начнем с первого этажа. На первом этаже мы можем поставить от 0 до 10 кубиков, т.е. у нас есть 11 вариантов.

Перейдем ко второму этажу. Здесь мы можем либо поставить столько же кубиков, как на первом этаже (от 0 до 10), либо меньше. Таким образом, на каждом этаже у нас есть 11 возможных вариантов.

Аналогично поступаем и с остальными этажами. На каждом новом этаже у нас также будет 11 вариантов – мы можем построить от 0 до 10 кубиков или просто пропустить этот этаж.

Теперь нам нужно учесть, что две башни считаются одинаковыми, если на каждом этаже у них одинаковое число кубиков. Это означает, что нам необходимо учесть только количество этажей, на которых есть кубики.

Таким образом, нам нужно сложить количество вариантов на каждом этаже:
\[11 + 11 + 11 + \ldots + 11\]
где сумма состоит из 10 слагаемых, так как у нас 10 этажей в башне.

Чтобы было легче вычислить эту сумму, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{{n \cdot (a + l)}}{2},\]
где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество слагаемых, \(a\) - первое слагаемое, \(l\) - последнее слагаемое.

В нашем случае:
\[
\begin{align*}
n &= 10 \\
a &= 11 \\
l &= 11
\end{align*}
\]

Подставим значения в формулу и вычислим сумму:
\[
S = \frac{{10 \cdot (11 + 11)}}{2} = \frac{{10 \cdot 22}}{2} = \frac{{220}}{2} = 110.
\]

Таким образом, у нас есть 110 различных вариантов построения башни из десяти этажей, удовлетворяющих условию задачи.