Сколько различных треугольников можно построить, если выбрать 12 точек на одной прямой и 4 точки на параллельной

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, какие треугольники можно построить с заданными точками. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определите, какие треугольники можно построить с точками на одной прямой.
На одной прямой выбрано 12 точек. Для того чтобы построить треугольник, нам нужны три точки, которые не лежат на одной прямой. Из 12 точек на прямой мы можем выбрать 3 точки по комбинации \(C_{12}^3\), что означает "12 по 3". Это вычисляется по формуле:

\[C_{n}^{k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), а \(!\) обозначает умножение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). В этом случае,

\[C_{12}^3 = \frac{{12!}}{{3! \cdot (12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}}\]

Вычислим это значение:

\[C_{12}^3 = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 220\]

Таким образом, с точками, выбранными на одной прямой, можно построить 220 треугольников.

Шаг 2: Определите, какие треугольники можно построить с точками на параллельных прямых.
На параллельных прямых выбрано 4 точки. Для построения треугольника нам нужны три точки, которые не лежат на одной прямой. Так как у нас только 4 точки, нельзя выбрать 3 точки, чтобы они не лежали на одной прямой. Поэтому с точками на параллельных прямых треугольник невозможно построить.

Шаг 3: Суммируйте результаты из шагов 1 и 2.
Таким образом, общее количество различных треугольников, которые можно построить с данными точками, равно сумме результатов из шага 1 и шага 2:

\[220 + 0 = 220\]

Итак, с выбранными 12 точками на одной прямой и 4 точками на параллельной прямой можно построить 220 различных треугольников.