Сколько различных треугольников можно образовать, используя 11 точек на одной прямой и 4 точки на параллельной

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать комбинаторику, а именно формулу сочетания. Сначала давайте рассмотрим, сколько треугольников можно образовать, используя только 11 точек на одной прямой.

Для каждого треугольника, нам нужно выбрать 3 точки из 11. Используя формулу сочетания, это можно записать как \(\binom{11}{3}\). Вычислим значение:

\[\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165.\]

Таким образом, с использованием 11 точек на одной прямой, можно образовать 165 различных треугольников.

Теперь рассмотрим, сколько треугольников можно образовать, используя 4 точки на параллельной прямой. Здесь также нужно выбрать 3 точки из 4, что дает

\[\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4.\]

Таким образом, с использованием 4 точек на параллельной прямой, можно образовать 4 различных треугольника.

Теперь давайте объединим эти два случая. Мы можем выбрать 3 точки из 11 и 3 точки из 4. Поскольку эти два события являются независимыми, мы можем умножить количество вариантов каждого события, чтобы получить общее количество треугольников. Таким образом, общее количество треугольников будет равно:

\[\binom{11}{3} \cdot \binom{4}{3} = 165 \cdot 4 = 660.\]

Итак, используя 11 точек на одной прямой и 4 точки на параллельной прямой, можно образовать 660 различных треугольников.